TÀI LIỆU HỌC TẬP: ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC - CÁC CÔNG THỨC DIỆN TÍCH, CHU VI (LỚP 7)

I. MỞ ĐẦU

Đẳng thức hình học là sự liên hệ giữa các đại lượng hình học (diện tích, chu vi, độ dài cạnh,...) thông qua các đẳng thức đại số. Việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các công thức diện tích, chu vi không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức hình học sau này. Tài liệu này sẽ tập trung vào việc hệ thống hóa các công thức diện tích, chu vi cơ bản và hướng dẫn cách ứng dụng chúng trong giải toán.

II. CÁC HÌNH VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

1. Hình chữ nhật

• Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
• Tính chất:
  • Các cạnh đối song song và bằng nhau.
  • Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Công thức:
  • Chu vi: $P = 2(a + b)$, trong đó $a$ và $b$ là chiều dài và chiều rộng.
  • Diện tích: $S = a \cdot b$

2. Hình vuông

• Định nghĩa: Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
• Tính chất:
  • Tất cả các tính chất của hình chữ nhật.
  • Bốn cạnh bằng nhau.
  • Hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc.
• Công thức:
  • Chu vi: $P = 4a$, trong đó $a$ là độ dài cạnh.
  • Diện tích: $S = a^2$

3. Hình bình hành

• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
• Tính chất:
  • Các cạnh đối song song và bằng nhau.
  • Các góc đối bằng nhau.
  • Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Công thức:
  • Chu vi: $P = 2(a + b)$, trong đó $a$ và $b$ là độ dài hai cạnh kề nhau.
  • Diện tích: $S = a \cdot h$, trong đó $a$ là độ dài một cạnh và $h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đó.

4. Hình thoi

• Định nghĩa: Hình thoi là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau.
• Tính chất:
  • Tất cả các tính chất của hình bình hành.
  • Bốn cạnh bằng nhau.
  • Hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc.
• Công thức:
  • Chu vi: $P = 4a$, trong đó $a$ là độ dài cạnh.
  • Diện tích: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, trong đó $d_1$ và $d_2$ là độ dài hai đường chéo.
  • Diện tích: $S = a \cdot h$, trong đó $a$ là độ dài cạnh và $h$ là chiều cao.

5. Hình tam giác

• Công thức:
  • Chu vi: $P = a + b + c$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là độ dài ba cạnh.
  • Diện tích: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$, trong đó $a$ là độ dài một cạnh và $h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đó.
• Tam giác vuông:
  • Diện tích: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$, trong đó $a$ và $b$ là độ dài hai cạnh góc vuông.
• Tam giác đều:
  • Diện tích: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, trong đó $a$ là độ dài cạnh.

6. Hình thang

• Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Tính chất: Hai cạnh song song được gọi là đáy (đáy lớn và đáy bé), hai cạnh còn lại là cạnh bên.
• Công thức:
  • Chu vi: $P = a + b + c + d$, trong đó $a$ và $b$ là độ dài hai đáy, $c$ và $d$ là độ dài hai cạnh bên.
  • Diện tích: $S = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h$, trong đó $a$ và $b$ là độ dài hai đáy, $h$ là chiều cao.

III. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1

Một hình chữ nhật có chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm. Tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó.

Giải:

• Chu vi: $P = 2(12 + 8) = 2(20) = 40$ cm
• Diện tích: $S = 12 \cdot 8 = 96$ cm²

Ví dụ 2

Một hình vuông có cạnh dài 5cm. Tính chu vi và diện tích của hình vuông đó.

Giải:

• Chu vi: $P = 4 \cdot 5 = 20$ cm
• Diện tích: $S = 5^2 = 25$ cm²

Ví dụ 3

Một hình bình hành có cạnh đáy dài 10cm và chiều cao tương ứng là 6cm. Tính diện tích của hình bình hành đó.

Giải:

• Diện tích: $S = 10 \cdot 6 = 60$ cm²

Ví dụ 4

Một hình thoi có hai đường chéo dài 8cm và 6cm. Tính diện tích của hình thoi đó.

Giải:

• Diện tích: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ cm²

Ví dụ 5

Một tam giác có cạnh đáy dài 10cm và chiều cao tương ứng là 5cm. Tính diện tích của tam giác đó.

Giải:

• Diện tích: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$ cm²

Ví dụ 6

Một hình thang có hai đáy dài 8cm và 12cm, chiều cao là 5cm. Tính diện tích của hình thang đó.

Giải:

• Diện tích: $S = \frac{1}{2} (8 + 12) \cdot 5 = \frac{1}{2} (20) \cdot 5 = 50$ cm²

IV. BÀI TẬP ỨNG DỤNG

1. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 20m và chiều rộng 15m.
   • Tính chu vi của mảnh vườn.
   • Tính diện tích của mảnh vườn.
2. Một hình vuông có diện tích bằng 64 cm². Tính độ dài cạnh của hình vuông đó.
3. Một hình bình hành có diện tích 48 cm² và chiều cao là 6cm. Tính độ dài cạnh đáy tương ứng với chiều cao đó.
4. Một hình thoi có diện tích 30 cm² và một đường chéo dài 10cm. Tính độ dài đường chéo còn lại.
5. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó.
6. Một hình thang có hai đáy lần lượt là 10cm và 14cm, diện tích là 60 cm². Tính chiều cao của hình thang.
7. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích khu đất tăng thêm 36 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu đất ban đầu.
8. Một mảnh vườn hình vuông có chu vi là 80m. Người ta đào một cái ao hình vuông ở giữa vườn. Cạnh ao cách đều các cạnh vườn là 2m. Tính diện tích còn lại của mảnh vườn.
9. Cho tam giác ABC có diện tích 30 cm². Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính diện tích tam giác ABM.
10. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của AC và BD. Biết diện tích tam giác ABE bằng 9 cm², diện tích tam giác CDE bằng 25 cm². Tính diện tích hình thang ABCD.

V. KẾT LUẬN

Việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các công thức diện tích, chu vi là một kỹ năng quan trọng trong học toán. Bằng cách luyện tập thường xuyên và giải các bài tập đa dạng, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng. Chúc các bạn học tốt!