TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN: ỨNG DỤNG TAM GIÁC VUÔNG CÂN TRONG GIẢI TOÁN KHOẢNG CÁCH

Dành cho học sinh lớp 9

I. GIỚI THIỆU

Tam giác vuông cân là một hình học quen thuộc nhưng lại ẩn chứa nhiều ứng dụng thú vị trong giải toán, đặc biệt là các bài toán liên quan đến khoảng cách. Tài liệu này sẽ trình bày chi tiết cách sử dụng tam giác vuông cân, cụ thể là tam giác vuông có góc $45^\circ$, để giải quyết các bài toán tính khoảng cách một cách hiệu quả.

II. KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1. Tam giác vuông cân

• Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
• Tính chất:
  • Hai góc nhọn bằng nhau và mỗi góc bằng $45^\circ$.
  • Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền đồng thời là đường cao, đường phân giác.
  • Đường cao ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
• Định lý Pytago: Trong tam giác vuông cân, nếu cạnh góc vuông bằng $a$ thì cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Ngược lại, nếu cạnh huyền bằng $c$ thì mỗi cạnh góc vuông bằng $\frac{c}{\sqrt{2}}$.

2. Tọa độ trong mặt phẳng

• Hệ trục tọa độ Oxy: Gồm hai trục số Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc tọa độ O.

• Tọa độ điểm: Mỗi điểm M trên mặt phẳng được xác định bởi cặp số $(x_M; y_M)$, trong đó $x_M$ là hoành độ và $y_M$ là tung độ của M.

• Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$, khoảng cách giữa A và B được tính theo công thức:

  $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TAM GIÁC VUÔNG CÂN ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH

1. Ý tưởng chung

Khi gặp các bài toán tính khoảng cách, đặc biệt là trong mặt phẳng tọa độ, ta có thể tạo ra các tam giác vuông cân để tận dụng các tính chất đặc biệt của nó, từ đó tìm ra các cạnh và tính toán khoảng cách cần tìm.

2. Các bước thực hiện

1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan đến khoảng cách cần tính.
2. Dựng thêm các đường thẳng vuông góc hoặc song song để tạo ra các tam giác vuông.
3. Tìm các tam giác vuông cân (hoặc tam giác vuông có góc $45^\circ$) trong hình vừa dựng.
4. Sử dụng các tính chất của tam giác vuông cân và định lý Pytago để tính các cạnh của tam giác.
5. Từ đó suy ra khoảng cách cần tìm.

IV. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A(1; 2)$ và $B(4; 5)$. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Lời giải:

1. Vẽ các đường thẳng vuông góc từ A và B xuống trục Ox, Oy, tạo thành hình chữ nhật ACBD (C thuộc Ox, D thuộc Oy).
2. Xét tam giác ABC, ta thấy $\angle ACB = 90^\circ$.
3. Tính độ dài các cạnh:
   • $AC = |y_B - y_A| = |5 - 2| = 3$
   • $BC = |x_B - x_A| = |4 - 1| = 3$
4. Nhận thấy $\triangle ABC$ là tam giác vuông cân tại C.
5. Áp dụng định lý Pytago: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, $\angle B = 45^\circ$, BC = 10cm. Tính độ dài cạnh AB.

Lời giải:

1. Tam giác ABC vuông tại A có $\angle B = 45^\circ$ nên $\angle C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
2. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
3. Do đó, $AB = AC$.
4. Áp dụng định lý Pytago: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2AB^2$.
5. Suy ra $AB^2 = \frac{BC^2}{2} = \frac{10^2}{2} = 50$.
6. Vậy $AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $M(3; 1)$. Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng $d: x - y = 0$.

Lời giải:

1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khoảng cách từ M đến d là MH.
2. Lấy điểm $A(0; 0)$ thuộc d.
3. Vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với d, cắt d tại H. Đường thẳng này có phương trình $x + y - 4 = 0$.
4. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: x - y = 0 \\ x + y - 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$$ Vậy $H(2; 2)$.
5. Tính $AH = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Tính $AM = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{10}$.
6. Tam giác AHM vuông tại H.
7. Tính MH bằng cách dựng tam giác vuông cân khác:
   • Dựng điểm $B(3; 3)$ thuộc d.
   • Dựng tam giác MBK vuông cân tại B (K là hình chiếu của M lên đường thẳng $x=3$).
   • $MB = \sqrt{(3-3)^2 + (3-1)^2} = 2$.
   • $BK = 3-2=1$; $MK = 3-1 = 2$
   • Suy ra $MH = \sqrt{(3-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2}$.

V. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A(-1; 1)$ và $B(2; 4)$. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, $\angle C = 45^\circ$, AB = 5cm. Tính độ dài cạnh BC.
3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $N(2; -1)$. Tính khoảng cách từ N đến đường thẳng $d: x + y - 3 = 0$.
4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh AB đến đường chéo AC.

VI. KẾT LUẬN

Việc sử dụng tam giác vuông cân là một kỹ thuật hữu ích trong giải toán khoảng cách. Bằng cách nhận diện và tạo ra các tam giác vuông cân, ta có thể đơn giản hóa bài toán và tìm ra lời giải một cách dễ dàng hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững phương pháp này và áp dụng nó một cách linh hoạt trong các bài toán khác nhau.