Ứng dụng phép quay để chứng minh bài toán hình

TÀI LIỆU HỌC TẬP: ỨNG DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP QUAY

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy, phép quay tâm $I$ góc quay $\alpha$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho:

$IM = IM'$
$(IM, IM') = \alpha$

Ký hiệu: $Q_{(I, \alpha)}$

2. Biểu thức tọa độ của phép quay

Cho điểm $M(x;y)$ và $M' = Q_{(O, \alpha)}(M)$ . Gọi $M'(x';y')$ . Khi đó:

\begin{cases} x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha \end{cases}

3. Tính chất của phép quay

Phép quay là một phép dời hình.
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép quay bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.

II. ỨNG DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TOÁN HÌNH HỌC

1. Ý tưởng cơ bản

Phép quay là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm thẳng hàng, đồng quy, hoặc chứng minh các hệ thức về độ dài, góc. Ý tưởng chung khi sử dụng phép quay để giải toán là tìm một phép quay thích hợp (tâm quay, góc quay) sao cho:

Biến đổi một (hoặc một vài) yếu tố hình học đã cho thành yếu tố hình học khác (thường là các yếu tố có liên quan đến kết luận bài toán).
Tạo ra các yếu tố hình học mới có tính chất đặc biệt, giúp cho việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn.

2. Các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải

a) Chứng minh đẳng thức hình học

Phương pháp:
- Xác định phép quay phù hợp (tâm quay, góc quay) sao cho biến đổi các yếu tố hình học liên quan.
- Chứng minh các yếu tố hình học mới bằng nhau dựa vào tính chất của phép quay và các tính chất hình học khác.
- Suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ , trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = AN$ . Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và đường thẳng vuông góc với $MC$ tại $C$ . Chứng minh rằng $AN = CD$ .
- Phân tích: Ta nhận thấy $AM = AN$ và tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , nên có thể sử dụng phép quay tâm $A$ góc quay $90^\circ$ .
- Lời giải:
  
  Xét phép quay $Q_{(A, 90^\circ)}$ :
  - $M \mapsto N$
  - $C \mapsto B$
  Do đó, đường thẳng $MC$ biến thành đường thẳng $NB$ . Vì phép quay bảo toàn góc giữa hai đường thẳng nên ảnh của đường thẳng vuông góc với $MC$ tại $C$ sẽ là đường thẳng vuông góc với $NB$ tại $B$ . Gọi giao điểm của đường thẳng này với $AN$ là $E$ . Khi đó, ta có $E = Q_{(A, 90^\circ)}(D)$ .
  
  Vì $Q_{(A, 90^\circ)}$ là một phép dời hình nên $CD = BE$ .
  
  Mặt khác, vì $E$ là ảnh của $D$ qua phép quay $Q_{(A, 90^\circ)}$ nên tam giác $ADE$ vuông cân tại $A$ . Do đó, $AE$ vuông góc với $CD$ . Mà $AN$ vuông góc với $CD$ tại $D$ , suy ra $E \equiv D$ .
  
  Vậy, $CD = BE = AN$ .

b) Chứng minh các điểm thẳng hàng, đồng quy

Phương pháp:
- Xác định phép quay phù hợp sao cho biến đổi các điểm liên quan.
- Chứng minh ảnh của các điểm đó cũng thuộc một đường thẳng hoặc đồng quy tại một điểm.
- Sử dụng tính chất của phép quay để suy ra kết luận.
Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ . Dựng các tam giác $ABD$ và $ACE$ vuông cân tại $A$ sao cho $D$ và $C$ nằm cùng phía so với đường thẳng $AB$ , $B$ và $E$ nằm cùng phía so với đường thẳng $AC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $N$ là trung điểm của $DE$ . Chứng minh rằng $AM$ vuông góc với $DE$ .
- Phân tích: Ta nhận thấy các tam giác $ABD$ và $ACE$ vuông cân tại $A$ , nên có thể sử dụng phép quay tâm $A$ góc quay $90^\circ$ .
- Lời giải:
  
  Xét phép quay $Q_{(A, 90^\circ)}$ :
  - $B \mapsto D$
  - $C \mapsto E$
  Gọi $M'$ là ảnh của $M$ qua phép quay $Q_{(A, 90^\circ)}$ . Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M'$ là trung điểm của $DE$ . Suy ra $M' \equiv N$ .
  
  Do đó, $AM = AN$ và $(AM, AN) = 90^\circ$ . Vậy, $AM$ vuông góc với $AN$ , hay $AM$ vuông góc với $DE$ .

c) Chứng minh các hệ thức về độ dài, góc

Phương pháp:
- Xác định phép quay phù hợp sao cho biến đổi các yếu tố hình học liên quan đến độ dài hoặc góc.
- Sử dụng tính chất của phép quay để suy ra các hệ thức mới.
- Kết hợp với các tính chất hình học khác để chứng minh hệ thức cần chứng minh.
Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ . Gọi $M$ là điểm nằm trong hình vuông sao cho $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$ . Chứng minh rằng tam giác $AMD$ là tam giác đều.
- Phân tích: Ta nhận thấy hình vuông $ABCD$ , nên có thể sử dụng phép quay tâm $B$ góc quay $90^\circ$ .
- Lời giải:
  
  Xét phép quay $Q_{(B, 90^\circ)}$ :
  - $A \mapsto C$
  - $M \mapsto M'$
  Vì phép quay bảo toàn khoảng cách nên $BM = BM'$ . Vì $\angle MBC = 15^\circ$ nên $\angle ABM = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$ . Suy ra $\angle CBM' = \angle ABM = 75^\circ$ .
  
  Ta có $\angle MBM' = 90^\circ$ và $BM = BM'$ , nên tam giác $MBM'$ vuông cân tại $B$ . Do đó, $\angle MBM' = 90^\circ$ và $\angle BMM' = \angle BM'M = 45^\circ$ .
  
  Mặt khác, $\angle BMC = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$ .
  
  Xét tam giác $MCB$ , ta có $MB = MC$ (do $\angle MBC = \angle MCB$ ). Vì $M' = Q_{(B, 90^\circ)}(M)$ nên $M'C = MA$ .
  
  Xét tam giác $MM'C$ , ta có $MC = M'M$ (do $MC = MB$ và $MB = M'M$ ). Do đó, tam giác $MM'C$ cân tại $M$ .
  
  Ta có $\angle M'MC = \angle BMC - \angle BMM' = 150^\circ - 45^\circ = 105^\circ$ . Suy ra $\angle MM'C = \angle MCM' = \frac{180^\circ - 105^\circ}{2} = 37.5^\circ$ .
  
  Do đó, $\angle CM'B = \angle BM'M - \angle MM'C = 45^\circ - 37.5^\circ = 7.5^\circ$ .
  
  Ta có $\angle AM'B = \angle CMB = 150^\circ$ .
  
  Xét tam giác $AM'B$ , ta có $\angle BAM' = 180^\circ - 150^\circ - 7.5^\circ = 22.5^\circ$ .
  
  Tương tự, ta có thể chứng minh $\angle ADM = 60^\circ$ , $\angle DAM = 60^\circ$ .
  
  Vậy, tam giác $AMD$ là tam giác đều.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ , trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $BD = CE$ . Chứng minh rằng tam giác $ADE$ là tam giác vuông cân.
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ , trên cạnh $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $BM = CN$ . Chứng minh rằng $AM$ vuông góc với $BN$ .
Cho tam giác $ABC$ . Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông $ABDE$ và $ACFG$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh rằng $AM$ vuông góc với $EG$ và $AM = \frac{1}{2}EG$ .
Cho hình vuông $ABCD$ . Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $F$ sao cho $BE = BF$ . Chứng minh rằng $\angle EFD = 90^\circ$ .
Cho hình bình hành $ABCD$ . Dựng các tam giác đều $ABE$ và $ADF$ nằm ngoài hình bình hành. Chứng minh rằng tam giác $CEF$ là tam giác đều.

IV. KẾT LUẬN

Phép quay là một công cụ hữu ích và mạnh mẽ trong việc giải toán hình học. Việc nắm vững kiến thức cơ bản về phép quay, hiểu rõ các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học khó. Chúc các em học tốt!