TÀI LIỆU HỌC TẬP: CÔNG THỨC TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN

1. Định nghĩa Cấp Số Nhân (CSN)

Một dãy số $(u_n)$ được gọi là cấp số nhân nếu thỏa mãn:

• $u_{n+1} = u_n \cdot q$, với mọi $n \ge 1$,

trong đó $q$ là một hằng số (công bội) và $u_1$ là số hạng đầu.

2. Công thức Tổng n Số Hạng Đầu của CSN

Cho CSN $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$. Tổng $n$ số hạng đầu của CSN, ký hiệu $S_n$, được tính bởi công thức:

$S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n$

Để tính $S_n$ một cách hiệu quả, ta sử dụng công thức sau:

2.1. Trường hợp $q \neq 1$:

$S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

2.2. Trường hợp $q = 1$:

Khi $q = 1$, CSN trở thành dãy số không đổi: $u_1, u_1, u_1, ...$ Tổng $n$ số hạng đầu là:

$S_n = u_1 + u_1 + ... + u_1 = n \cdot u_1$

3. Chứng minh Công Thức $S_n$ (khi $q \neq 1$)

Ta có: $S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n$ $S_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 + ... + u_1q^{n-1}$

Nhân cả hai vế với $q$:

$qS_n = u_1q + u_1q^2 + u_1q^3 + ... + u_1q^n$

Lấy $S_n - qS_n$:

$S_n - qS_n = (u_1 + u_1q + u_1q^2 + ... + u_1q^{n-1}) - (u_1q + u_1q^2 + u_1q^3 + ... + u_1q^n)$

$S_n(1 - q) = u_1 - u_1q^n$ $S_n(1 - q) = u_1(1 - q^n)$

Vì $q \neq 1$, ta có:

$S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

4. Các Bước Áp Dụng Công Thức

Để tính tổng $n$ số hạng đầu của một CSN, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định $u_1$ (số hạng đầu) và $q$ (công bội).
2. Kiểm tra điều kiện $q$:
   • Nếu $q \neq 1$, sử dụng công thức $S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$.
   • Nếu $q = 1$, sử dụng công thức $S_n = n \cdot u_1$.
3. Xác định $n$ (số lượng số hạng cần tính tổng).
4. Thay các giá trị $u_1$, $q$ và $n$ vào công thức phù hợp và tính $S_n$.

5. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1:

Tính tổng 10 số hạng đầu của CSN với $u_1 = 2$ và $q = 3$.

• Bước 1: $u_1 = 2$, $q = 3$
• Bước 2: $q = 3 \neq 1$, sử dụng công thức $S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$
• Bước 3: $n = 10$
• Bước 4: $S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 59049}{-2} = 2 \cdot \frac{-59048}{-2} = 59048$

Vậy, $S_{10} = 59048$.

Ví dụ 2:

Tính tổng 5 số hạng đầu của CSN với $u_1 = 5$ và $q = 1$.

• Bước 1: $u_1 = 5$, $q = 1$
• Bước 2: $q = 1$, sử dụng công thức $S_n = n \cdot u_1$
• Bước 3: $n = 5$
• Bước 4: $S_5 = 5 \cdot 5 = 25$

Vậy, $S_5 = 25$.

6. Bài Tập Tự Luyện

1. Tính tổng 8 số hạng đầu của CSN với $u_1 = 1$ và $q = 2$.
2. Tính tổng 6 số hạng đầu của CSN với $u_1 = 3$ và $q = -2$.
3. Tính tổng 10 số hạng đầu của CSN với $u_1 = 4$ và $q = \frac{1}{2}$.
4. Cho CSN có $u_1 = 2$, $q = 3$ và $S_n = 242$. Tìm $n$.
5. Một CSN có $u_1 = 1$, $q \neq 1$ và $S_3 = 13$. Tìm $q$.

7. Kết luận

Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân là một công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến CSN. Việc hiểu rõ công thức và các bước áp dụng sẽ giúp các bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc các bạn học tốt!