TÀI LIỆU HỌC TẬP: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH NHẨM NGHIỆM

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Nghiệm của đa thức

Cho đa thức $P(x)$. Nếu tại $x = a$, đa thức $P(x)$ có giá trị bằng 0, tức là $P(a) = 0$, thì ta nói $a$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$.

2. Định lý Bezout

Cho đa thức $P(x)$. Nếu $P(a) = 0$ thì đa thức $P(x)$ chia hết cho $(x - a)$. Nói cách khác, ta có thể viết:

$P(x) = (x - a)Q(x)$

trong đó $Q(x)$ là một đa thức khác.

3. Hệ quả

Nếu $a$ là nghiệm của đa thức $P(x)$, thì $(x - a)$ là một nhân tử của $P(x)$.

II. PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM

1. Nguyên tắc

Khi phân tích một đa thức $P(x)$ thành nhân tử, một trong những phương pháp hiệu quả là nhẩm nghiệm. Nếu đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên, thì nghiệm đó thường là ước của hệ số tự do.

Ví dụ: Xét đa thức $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Hệ số tự do là -6. Các ước của -6 là: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

2. Các bước thực hiện

Bước 1: Xác định các ước của hệ số tự do của đa thức.

Bước 2: Lần lượt thay các ước vào đa thức. Nếu giá trị của đa thức bằng 0, ta tìm được một nghiệm.

Bước 3: Nếu tìm được nghiệm $a$, ta chia đa thức $P(x)$ cho $(x - a)$ để được một đa thức bậc thấp hơn. Có thể sử dụng phép chia đa thức thông thường hoặc sơ đồ Horner (sẽ trình bày ở phần sau).

Bước 4: Phân tích đa thức thương (nếu có thể) để tiếp tục tìm các nhân tử khác.

III. SƠ ĐỒ HORNER

Sơ đồ Horner là một công cụ hữu ích để chia một đa thức cho nhị thức $(x - a)$. Nó giúp việc chia đa thức trở nên nhanh chóng và hiệu quả hơn.

1. Cách thực hiện

Cho đa thức $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$. Ta muốn chia $P(x)$ cho $(x - c)$. Sơ đồ Horner được thực hiện như sau:

	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	...	$a_1$	$a_0$
$x = c$	$b_{n-1} = a_n$	$b_{n-2} = c \cdot b_{n-1} + a_{n-1}$	$b_{n-3} = c \cdot b_{n-2} + a_{n-2}$	...	$b_0 = c \cdot b_1 + a_1$	$r = c \cdot b_0 + a_0$

Trong đó:

• $b_{n-1}, b_{n-2}, ..., b_0$ là các hệ số của đa thức thương $Q(x)$ (bậc của $Q(x)$ là $n - 1$).
• $r$ là số dư.

Nếu $r = 0$, thì $c$ là nghiệm của $P(x)$ và $P(x) = (x - c)Q(x)$.

2. Ví dụ

Chia đa thức $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ cho $(x - 1)$ bằng sơ đồ Horner:

	1	-6	11	-6
$x = 1$	1	-5	6	0

Vậy $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$.

IV. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1

Phân tích đa thức $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ thành nhân tử.

Giải:

Bước 1: Hệ số tự do là -6. Các ước của -6 là: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Bước 2: Thử lần lượt các ước:

• $P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Vậy $x = 1$ là một nghiệm.

Bước 3: Chia $P(x)$ cho $(x - 1)$ bằng sơ đồ Horner:

	1	-6	11	-6
$x = 1$	1	-5	6	0

Ta được $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$.

Bước 4: Phân tích $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Vậy $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

Ví dụ 2

Phân tích đa thức $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ thành nhân tử.

Giải:

Bước 1: Hệ số tự do là 3. Các ước của 3 là: $\pm1, \pm3$.

Bước 2: Thử lần lượt các ước:

• $P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 8(1) + 3 = 2 + 3 - 8 + 3 = 0$. Vậy $x = 1$ là một nghiệm.

Bước 3: Chia $P(x)$ cho $(x - 1)$ bằng sơ đồ Horner:

	2	3	-8	3
$x = 1$	2	5	-3	0

Ta được $P(x) = (x - 1)(2x^2 + 5x - 3)$.

Bước 4: Phân tích $2x^2 + 5x - 3$:

$2x^2 + 5x - 3 = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - (x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$.

Vậy $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (x - 1)(2x - 1)(x + 3)$.

Ví dụ 3

Phân tích đa thức $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$ thành nhân tử.

Giải:

Bước 1: Hệ số tự do là 6. Các ước của 6 là: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Bước 2: Thử lần lượt các ước:

• $P(1) = 1^4 + 1^3 - 7(1)^2 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$. Vậy $x = 1$ là một nghiệm.
• $P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7(-1)^2 - (-1) + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$. Vậy $x = -1$ là một nghiệm.

Bước 3: Chia $P(x)$ cho $(x - 1)$ bằng sơ đồ Horner:

	1	1	-7	-1	6
$x = 1$	1	2	-5	-6	0

Ta được $P(x) = (x - 1)(x^3 + 2x^2 - 5x - 6)$.

Bước 4: Chia $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ cho $(x + 1)$ bằng sơ đồ Horner:

	1	2	-5	-6
$x = -1$	1	1	-6	0

Ta được $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x^2 + x - 6)$.

Bước 5: Phân tích $x^2 + x - 6$:

$x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x - 2)(x + 3)$.

Vậy $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3)$.

V. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1. $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
2. $2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$
3. $x^4 - 5x^2 + 4$
4. $x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$
5. $x^3 - 7x - 6$

VI. LƯU Ý

• Không phải đa thức nào cũng có nghiệm nguyên.
• Khi nhẩm nghiệm, nên bắt đầu từ các ước nhỏ nhất (ví dụ $\pm1$) để tiết kiệm thời gian.
• Trong trường hợp đa thức bậc cao, sau khi tìm được một nghiệm, việc chia đa thức để hạ bậc là rất quan trọng.
• Sơ đồ Horner là công cụ hữu ích, nên luyện tập thành thạo.

Chúc các bạn học tốt!