Định lý trục song song và trục vuông góc trong Vật lý

1. Moment quán tính

1.1. Định nghĩa

Moment quán tính là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức quán tính của một vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục. Nó phụ thuộc vào khối lượng của vật và sự phân bố khối lượng đó so với trục quay.

1.2. Công thức

• Đối với chất điểm: Moment quán tính của một chất điểm khối lượng m đối với trục quay cách nó một khoảng r là:

  $I = mr^2$

• Đối với hệ chất điểm: Moment quán tính của một hệ n chất điểm đối với một trục quay là tổng moment quán tính của từng chất điểm:

  $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

• Đối với vật rắn: Moment quán tính của một vật rắn đối với một trục quay được tính bằng tích phân:

  $I = \int r^2 dm$

  Trong đó, dm là vi phân khối lượng tại vị trí cách trục quay một khoảng r.

1.3. Đơn vị

Trong hệ SI, moment quán tính có đơn vị là kg.m².

1.4. Một số moment quán tính thường gặp

Vật rắn	Trục quay	Moment quán tính (I)
Vòng tròn/Vành khăn, bán kính R, khối lượng M	Trục đi qua tâm, vuông góc với mặt phẳng vòng tròn	$MR^2$
Đĩa tròn/Hình trụ đặc, bán kính R, khối lượng M	Trục đi qua tâm, vuông góc với mặt phẳng đĩa tròn/hình trụ	$\frac{1}{2}MR^2$
Thanh mảnh, chiều dài L, khối lượng M	Trục đi qua trung điểm, vuông góc với thanh	$\frac{1}{12}ML^2$
Thanh mảnh, chiều dài L, khối lượng M	Trục đi qua một đầu, vuông góc với thanh	$\frac{1}{3}ML^2$
Hình cầu đặc, bán kính R, khối lượng M	Trục đi qua tâm	$\frac{2}{5}MR^2$
Vỏ cầu, bán kính R, khối lượng M	Trục đi qua tâm	$\frac{2}{3}MR^2$
Hình hộp chữ nhật, các cạnh a, b, c, khối lượng M	Trục đi qua tâm, vuông góc với mặt phẳng chứa cạnh a và b	$\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

2. Định lý trục song song (Định lý Steiner)

2.1. Phát biểu

Moment quán tính của một vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng moment quán tính của vật đối với trục song song với trục đó và đi qua khối tâm của vật cộng với tích của khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục.

2.2. Công thức

$I = I_{CM} + Md^2$

Trong đó:

• I: Moment quán tính đối với trục quay bất kỳ.
• $I_{CM}$: Moment quán tính đối với trục quay song song và đi qua khối tâm.
• M: Khối lượng của vật rắn.
• d: Khoảng cách giữa hai trục song song.

2.3. Chứng minh

Xét một vật rắn có khối lượng M. Chọn hệ tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với khối tâm của vật. Gọi CM là khối tâm của vật. Xét một trục quay bất kỳ đi qua điểm O, cách khối tâm một khoảng d. Gọi $I_{CM}$ là moment quán tính đối với trục đi qua khối tâm và song song với trục đi qua O.

Xét một vi phân khối lượng dm tại vị trí có tọa độ $\vec{r}$ so với gốc tọa độ (khối tâm) và cách trục quay O một khoảng r.

Moment quán tính của dm đối với trục đi qua O là:

$dI = r^2 dm$

Moment quán tính của toàn vật đối với trục đi qua O là:

$I = \int r^2 dm$

Gọi $\vec{d}$ là vector nối khối tâm với điểm O trên trục quay đang xét. Ta có:

$\vec{r}' = \vec{r} + \vec{d}$

Trong đó, $\vec{r}'$ là vector vị trí của dm so với điểm O. Vậy, $r^2 = |\vec{r}'|^2 = |\vec{r} + \vec{d}|^2 = r^2 + d^2 + 2\vec{r}\cdot\vec{d}$

Thay vào công thức tính moment quán tính:

$I = \int (r^2 + d^2 + 2\vec{r}\cdot\vec{d}) dm$ $I = \int r^2 dm + \int d^2 dm + 2 \int \vec{r}\cdot\vec{d} dm$

• Số hạng thứ nhất: $\int r^2 dm = I_{CM}$ (moment quán tính đối với trục đi qua khối tâm).
• Số hạng thứ hai: $\int d^2 dm = d^2 \int dm = Md^2$ (d là hằng số).
• Số hạng thứ ba: $2 \int \vec{r}\cdot\vec{d} dm = 2\vec{d} \cdot \int \vec{r} dm = 2\vec{d} \cdot \vec{R}_{CM} M = 0$ (do gốc tọa độ đặt tại khối tâm nên vector vị trí khối tâm $\vec{R}_{CM} = \vec{0}$).

Vậy, ta có:

$I = I_{CM} + Md^2$

2.4. Ứng dụng

Định lý trục song song cho phép tính moment quán tính đối với một trục bất kỳ khi biết moment quán tính đối với trục song song đi qua khối tâm.

3. Định lý trục vuông góc

3.1. Điều kiện áp dụng

Định lý trục vuông góc chỉ áp dụng cho vật phẳng (vật có kích thước theo một chiều không đáng kể so với hai chiều còn lại).

3.2. Phát biểu

Moment quán tính của một vật phẳng đối với trục vuông góc với mặt phẳng vật và đi qua giao điểm của hai trục vuông góc nằm trong mặt phẳng vật bằng tổng moment quán tính của vật đối với hai trục vuông góc đó.

3.3. Công thức

$I_z = I_x + I_y$

Trong đó:

• $I_x$: Moment quán tính đối với trục x.
• $I_y$: Moment quán tính đối với trục y.
• $I_z$: Moment quán tính đối với trục z, vuông góc với mặt phẳng xy và đi qua giao điểm của trục x và trục y.

3.4. Chứng minh

Xét một vật phẳng nằm trong mặt phẳng xy. Gọi O là giao điểm của các trục x, y và z. Xét một vi phân khối lượng dm tại vị trí có tọa độ (x, y) so với gốc tọa độ O.

Moment quán tính của dm đối với trục x là:

$dI_x = y^2 dm$

Moment quán tính của dm đối với trục y là:

$dI_y = x^2 dm$

Moment quán tính của dm đối với trục z là:

$dI_z = r^2 dm = (x^2 + y^2) dm$

Moment quán tính của toàn vật đối với các trục là:

$I_x = \int y^2 dm$ $I_y = \int x^2 dm$ $I_z = \int (x^2 + y^2) dm = \int x^2 dm + \int y^2 dm = I_x + I_y$

Vậy, ta có:

$I_z = I_x + I_y$

3.5. Ứng dụng

Định lý trục vuông góc cho phép tính moment quán tính đối với một trục khi biết moment quán tính đối với hai trục vuông góc khác.

4. Ví dụ minh họa

4.1. Ví dụ 1:

Tính moment quán tính của một thanh mảnh đồng chất, chiều dài L, khối lượng M đối với trục quay đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh. Biết moment quán tính đối với trục đi qua trung điểm và vuông góc với thanh là $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2$.

Giải:

Áp dụng định lý trục song song:

$I = I_{CM} + Md^2$

Trong đó:

• $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2$
• M: Khối lượng của thanh
• d: Khoảng cách giữa hai trục = L/2

$I = \frac{1}{12}ML^2 + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$

4.2. Ví dụ 2:

Tính moment quán tính của một đĩa tròn đồng chất, bán kính R, khối lượng M đối với trục vuông góc với mặt phẳng đĩa và đi qua mép đĩa. Biết moment quán tính đối với trục đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng đĩa là $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$.

Giải:

Áp dụng định lý trục song song:

$I = I_{CM} + Md^2$

Trong đó:

• $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$
• M: Khối lượng của đĩa
• d: Khoảng cách giữa hai trục = R

$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$

4.3. Ví dụ 3:

Tính moment quán tính của một vành tròn, bán kính R, khối lượng M đối với một đường kính. Biết moment quán tính đối với trục đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng vành tròn là $MR^2$.

Giải: Gọi $I_x$ và $I_y$ là moment quán tính đối với hai đường kính vuông góc nhau. Gọi $I_z$ là moment quán tính đối với trục đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng vành tròn. Theo định lý trục vuông góc: $I_z = I_x + I_y$. Do tính đối xứng, $I_x = I_y = I$. Vậy, $MR^2 = 2I$. Suy ra, $I = \frac{1}{2}MR^2$.

5. Bài tập vận dụng

1. Tính moment quán tính của một hình vuông, cạnh a, khối lượng M đối với trục đi qua một đỉnh và vuông góc với mặt phẳng hình vuông.
2. Tính moment quán tính của một hình trụ rỗng, bán kính trong $R_1$, bán kính ngoài $R_2$, khối lượng M đối với trục đi qua tâm và trùng với trục hình trụ.
3. Một thanh mảnh đồng chất, chiều dài L, khối lượng M, quay quanh một trục đi qua một điểm cách trung điểm thanh một đoạn L/4 và vuông góc với thanh. Tính moment quán tính của thanh.
4. Chứng minh rằng moment quán tính nhỏ nhất của một vật rắn đối với một trục bất kỳ là moment quán tính đối với trục đi qua khối tâm.

6. Tài liệu tham khảo

• Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2014). Fundamentals of physics (10th ed.). John Wiley & Sons.
• Young, H. D., & Freedman, R. A. (2016). University physics (14th ed.). Pearson Education.