Số phức trong Dao động Điều hòa

I. Giới thiệu

Trong chương trình Vật lý lớp 12, dao động điều hòa là một chủ đề quan trọng và thường gặp. Việc giải quyết các bài toán liên quan đến tổng hợp dao động có thể trở nên phức tạp, đặc biệt khi có nhiều dao động thành phần hoặc các dao động có pha ban đầu khác nhau. Phương pháp sử dụng số phức là một công cụ mạnh mẽ giúp đơn giản hóa quá trình này.

II. Biểu diễn Dao động Điều hòa bằng Số Phức

1. Dao động điều hòa

Một dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng phương trình:

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

Trong đó:

• $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$.
• $A$ là biên độ dao động.
• $\omega$ là tần số góc.
• $\varphi$ là pha ban đầu.

2. Biểu diễn bằng số phức

Ta có thể biểu diễn dao động điều hòa trên bằng một số phức:

$\tilde{z}(t) = Ae^{j(\omega t + \varphi)} = A[\cos(\omega t + \varphi) + j\sin(\omega t + \varphi)]$

Trong đó:

• $j$ là đơn vị ảo, $j^2 = -1$.
• $e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$ (Công thức Euler).

Chú ý:

• Phần thực của $\tilde{z}(t)$ chính là li độ $x(t)$ của dao động điều hòa: $x(t) = \Re\{\tilde{z}(t)\} = A\cos(\omega t + \varphi)$.
• Số phức $\tilde{z}(t)$ có biên độ là $A$ và pha là $\omega t + \varphi$.

3. Biểu diễn dưới dạng vector quay

Số phức $\tilde{z}(t)$ có thể được biểu diễn bằng một vector quay trên mặt phẳng phức (mặt phẳng Argand):

• Độ dài của vector bằng biên độ $A$.
• Góc hợp bởi vector và trục thực là pha $\omega t + \varphi$.
• Vector này quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc $\omega$.

Tại thời điểm $t=0$, số phức biểu diễn dao động là:

$\tilde{z}(0) = Ae^{j\varphi} = A(\cos\varphi + j\sin\varphi)$

III. Tổng hợp Dao động Điều hòa bằng Số Phức

1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số

Giả sử ta có hai dao động điều hòa cùng tần số:

$x_1(t) = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ $x_2(t) = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$

Biểu diễn chúng bằng số phức:

$\tilde{z}_1(t) = A_1e^{j(\omega t + \varphi_1)}$ $\tilde{z}_2(t) = A_2e^{j(\omega t + \varphi_2)}$

Dao động tổng hợp $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ được biểu diễn bằng số phức:

$\tilde{z}(t) = \tilde{z}_1(t) + \tilde{z}_2(t) = A_1e^{j(\omega t + \varphi_1)} + A_2e^{j(\omega t + \varphi_2)}$

Đặt $\tilde{z}(t) = Ae^{j(\omega t + \varphi)}$, ta có:

$Ae^{j(\omega t + \varphi)} = A_1e^{j(\omega t + \varphi_1)} + A_2e^{j(\omega t + \varphi_2)}$

Chia cả hai vế cho $e^{j\omega t}$, ta được:

$Ae^{j\varphi} = A_1e^{j\varphi_1} + A_2e^{j\varphi_2}$

Đây là một phương trình phức. Để tìm biên độ $A$ và pha ban đầu $\varphi$, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

a. Phương pháp lượng giác:

Khai triển các số phức:

$A(\cos\varphi + j\sin\varphi) = A_1(\cos\varphi_1 + j\sin\varphi_1) + A_2(\cos\varphi_2 + j\sin\varphi_2)$

Tách phần thực và phần ảo:

$A\cos\varphi = A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2$ $A\sin\varphi = A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2$

Bình phương hai vế và cộng lại:

$A^2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)^2 + (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)^2$

$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$

Chia hai phương trình cho nhau:

$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$

b. Phương pháp số phức:

Đặt $\tilde{A} = Ae^{j\varphi}$, $\tilde{A}_1 = A_1e^{j\varphi_1}$, $\tilde{A}_2 = A_2e^{j\varphi_2}$.

Khi đó: $\tilde{A} = \tilde{A}_1 + \tilde{A}_2$

Biên độ $A$ là module của số phức $\tilde{A}$:

$A = |\tilde{A}| = |\tilde{A}_1 + \tilde{A}_2|$

Pha ban đầu $\varphi$ là argument của số phức $\tilde{A}$:

$\varphi = \arg(\tilde{A}) = \arg(\tilde{A}_1 + \tilde{A}_2)$

2. Tổng hợp nhiều dao động điều hòa cùng tần số

Tổng quát hóa cho $n$ dao động điều hòa cùng tần số:

$x(t) = \sum_{i=1}^{n} x_i(t) = \sum_{i=1}^{n} A_i\cos(\omega t + \varphi_i)$

Sử dụng số phức, ta có:

$\tilde{z}(t) = \sum_{i=1}^{n} \tilde{z}_i(t) = \sum_{i=1}^{n} A_ie^{j(\omega t + \varphi_i)}$

$\tilde{z}(t) = Ae^{j(\omega t + \varphi)} = \sum_{i=1}^{n} A_ie^{j(\omega t + \varphi_i)}$

Chia cả hai vế cho $e^{j\omega t}$:

$Ae^{j\varphi} = \sum_{i=1}^{n} A_ie^{j\varphi_i}$

Tương tự như trường hợp hai dao động, ta có thể tìm $A$ và $\varphi$ bằng phương pháp lượng giác hoặc phương pháp số phức.

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai dao động điều hòa:

$x_1(t) = 4\cos(\omega t + \frac{\pi}{6})$ $x_2(t) = 3\cos(\omega t - \frac{\pi}{3})$

Tìm dao động tổng hợp.

Giải:

Sử dụng phương pháp số phức:

$\tilde{A}_1 = 4e^{j\frac{\pi}{6}} = 4(\cos\frac{\pi}{6} + j\sin\frac{\pi}{6}) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} + 2j$ $\tilde{A}_2 = 3e^{-j\frac{\pi}{3}} = 3(\cos(-\frac{\pi}{3}) + j\sin(-\frac{\pi}{3})) = 3(\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - j\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\tilde{A} = \tilde{A}_1 + \tilde{A}_2 = (2\sqrt{3} + \frac{3}{2}) + j(2 - \frac{3\sqrt{3}}{2})$

$A = |\tilde{A}| = \sqrt{(2\sqrt{3} + \frac{3}{2})^2 + (2 - \frac{3\sqrt{3}}{2})^2} \approx 4.36$ $\varphi = \arg(\tilde{A}) = \arctan\left(\frac{2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3} + \frac{3}{2}}\right) \approx -0.44 \text{ rad}$

Vậy dao động tổng hợp là:

$x(t) = 4.36\cos(\omega t - 0.44)$

IV. Ứng dụng

Phương pháp số phức giúp đơn giản hóa việc tổng hợp dao động, đặc biệt khi có nhiều dao động thành phần. Nó cũng rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến giao thoa sóng và các hiện tượng dao động khác trong vật lý.

V. Kết luận

Việc sử dụng số phức trong biểu diễn và tổng hợp dao động điều hòa là một công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách dễ dàng và trực quan hơn. Nắm vững phương pháp này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các bài tập về dao động và sóng.