TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG VẬT LÝ

I. GIỚI THIỆU CHUNG

Trong nhiều bài toán Vật lý, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tìm cực trị (ví dụ: tìm vị trí cân bằng bền, tìm năng lượng cực tiểu, tìm hiệu điện thế cực đại,...), chúng ta thường xuyên phải làm việc với các hàm số nhiều biến. Đạo hàm riêng là một công cụ toán học cực kỳ hữu ích giúp chúng ta giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả. Tài liệu này sẽ cung cấp cho các em học sinh lớp 12 một cái nhìn tổng quan về đạo hàm riêng và cách áp dụng nó vào giải các bài toán Vật lý.

II. ĐẠO HÀM RIÊNG

1. Định nghĩa

Cho hàm số $f(x, y)$ có hai biến độc lập $x$ và $y$.

• Đạo hàm riêng của $f$ theo $x$ tại điểm $(x_0, y_0)$ được ký hiệu là $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ hoặc $f_x(x_0, y_0)$ và được định nghĩa là:

  $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

  Trong đó, ta coi $y$ là hằng số và chỉ thay đổi $x$.

• Đạo hàm riêng của $f$ theo $y$ tại điểm $(x_0, y_0)$ được ký hiệu là $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ hoặc $f_y(x_0, y_0)$ và được định nghĩa là:

  $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

  Trong đó, ta coi $x$ là hằng số và chỉ thay đổi $y$.

Tổng quát, cho hàm số $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ có $n$ biến độc lập. Đạo hàm riêng của $f$ theo biến $x_i$ (với $1 \leq i \leq n$) được ký hiệu là $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ và được tính bằng cách coi tất cả các biến còn lại là hằng số và chỉ đạo hàm theo $x_i$.

2. Quy tắc tính đạo hàm riêng

Việc tính đạo hàm riêng thực chất là việc tính đạo hàm của hàm một biến, do đó chúng ta có thể áp dụng các quy tắc đạo hàm đã biết:

• Đạo hàm của hằng số: $\frac{\partial}{\partial x}(c) = 0$ (với $c$ là hằng số).
• Đạo hàm của tổng/hiệu: $\frac{\partial}{\partial x}(u \pm v) = \frac{\partial u}{\partial x} \pm \frac{\partial v}{\partial x}$
• Đạo hàm của tích: $\frac{\partial}{\partial x}(uv) = u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial x}$
• Đạo hàm của thương: $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{\partial u}{\partial x} - u\frac{\partial v}{\partial x}}{v^2}$
• Đạo hàm của hàm hợp: $\frac{\partial}{\partial x}f(u(x)) = \frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial x}$

Bảng các đạo hàm cơ bản:

Hàm số	Đạo hàm theo x
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

3. Đạo hàm riêng cấp cao

Tương tự như đạo hàm cấp cao của hàm một biến, chúng ta có thể tính đạo hàm riêng cấp cao bằng cách lấy đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng. Ví dụ, với hàm $f(x, y)$, chúng ta có các đạo hàm riêng cấp hai sau:

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = f_{xx}$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = f_{yy}$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = f_{yx}$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = f_{xy}$

Trong nhiều trường hợp (khi các đạo hàm riêng liên tục), ta có: $f_{xy} = f_{yx}$.

III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG TÌM CỰC TRỊ

1. Điều kiện cần

Cho hàm số $f(x, y)$. Giả sử $f$ đạt cực trị tại điểm $(x_0, y_0)$. Khi đó, các đạo hàm riêng của $f$ tại điểm này phải bằng 0, tức là:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0$ $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$

Điểm $(x_0, y_0)$ thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm $f$.

Tổng quát: Với hàm $f(x_1, x_2, ..., x_n)$, để tìm điểm dừng, ta giải hệ phương trình:

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = 0, \quad i = 1, 2, ..., n$

2. Điều kiện đủ

Để xác định một điểm dừng có phải là điểm cực trị hay không, ta cần xét đến các đạo hàm riêng cấp hai.

Cho $D = f_{xx}(x_0, y_0)f_{yy}(x_0, y_0) - [f_{xy}(x_0, y_0)]^2$

• Nếu $D > 0$ và $f_{xx}(x_0, y_0) > 0$: $(x_0, y_0)$ là điểm cực tiểu.
• Nếu $D > 0$ và $f_{xx}(x_0, y_0) < 0$: $(x_0, y_0)$ là điểm cực đại.
• Nếu $D < 0$: $(x_0, y_0)$ không phải là điểm cực trị (điểm yên ngựa).
• Nếu $D = 0$: Cần xét thêm (trường hợp này ít gặp trong các bài toán Vật lý phổ thông).

Lưu ý: Điều kiện trên chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần. Tức là, nếu $D$ không thỏa mãn các điều kiện trên, ta vẫn chưa thể kết luận gì về điểm $(x_0, y_0)$.

IV. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm vị trí cân bằng bền của một vật

Một vật có khối lượng $m$ chuyển động trong trường thế có thế năng $U(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm vị trí cân bằng bền của vật.

Giải:

Vị trí cân bằng là vị trí thế năng đạt cực tiểu. Ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm $U(x, y)$.

1. Tìm điểm dừng:

   $\frac{\partial U}{\partial x} = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$ $\frac{\partial U}{\partial y} = 2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2$

   Vậy điểm dừng là $(1, 2)$.

2. Xét điều kiện đủ:

   $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = 2$ $\frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = 2$ $\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y} = 0$

   $D = (2)(2) - (0)^2 = 4 > 0$ và $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = 2 > 0$.

   Vậy điểm $(1, 2)$ là điểm cực tiểu.

Kết luận: Vị trí cân bằng bền của vật là $(x, y) = (1, 2)$.

Ví dụ 2: Tìm dòng điện để công suất tỏa nhiệt trên điện trở đạt cực đại

Cho mạch điện gồm nguồn điện có suất điện động $E$ và điện trở trong $r$, mắc với mạch ngoài có hai điện trở $R_1$ và $R_2$ mắc song song. Tính dòng điện qua $R_1$ và $R_2$ để công suất tỏa nhiệt trên hai điện trở này đạt cực đại.

Giải:

1. Thiết lập công thức:

   Gọi $I_1$ là dòng điện qua $R_1$, $I_2$ là dòng điện qua $R_2$. Dòng điện mạch chính là $I = I_1 + I_2$.

   Công suất tỏa nhiệt trên hai điện trở là:

   $P = R_1I_1^2 + R_2I_2^2$

   Áp dụng định luật Ohm cho toàn mạch:

   $E = I(r + \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}) = (I_1 + I_2)(r + \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2})$

   Suy ra: $I_1+I_2 = \frac{E}{r + \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}} = const$ Đặt $I_1 + I_2 = C$. Khi đó $I_2 = C - I_1$. Thay vào biểu thức của P: $P = R_1I_1^2 + R_2(C - I_1)^2$

   Để đơn giản, ta xét $P$ là hàm của $I_1$ và $I_2$ có ràng buộc $I_1+I_2 = C$.

2. Tìm điểm dừng:

   Ta có: $I_2 = \frac{E}{r + \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}} - I_1$. Công suất tiêu thụ: $P = R_1I_1^2+R_2I_2^2 = R_1I_1^2 + R_2(C-I_1)^2$ Đạo hàm theo $I_1$: $\frac{\partial P}{\partial I_1} = 2R_1I_1 - 2R_2(C-I_1) = 0$ $\Leftrightarrow R_1I_1 = R_2I_2$ Vậy $I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}$, $I_2 = I \frac{R_1}{R_1 + R_2}$, với $I = \frac{E}{r+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}$

Kết luận: Dòng điện qua $R_1$ và $R_2$ để công suất tỏa nhiệt đạt cực đại là $I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}$ và $I_2 = I \frac{R_1}{R_1 + R_2}$, với $I$ là dòng điện mạch chính.

V. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
2. Một hình hộp chữ nhật có thể tích $V$ cho trước. Tìm kích thước của hình hộp để diện tích toàn phần nhỏ nhất.
3. Một hạt mang điện tích $q$ chuyển động trong điện trường có điện thế $V(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2$. Tìm vị trí mà hạt có thế năng cực tiểu.
4. Cho mạch điện xoay chiều gồm R, L, C mắc nối tiếp. Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch là U không đổi. Tìm giá trị của L để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại.
5. Hai điện tích điểm q1 và q2 đặt cố định trong không gian, cách nhau một khoảng r. Tìm vị trí đặt một điện tích q0 trên đường thẳng nối hai điện tích q1 và q2 sao cho điện tích q0 cân bằng.

VI. KẾT LUẬN

Đạo hàm riêng là một công cụ toán học mạnh mẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán Vật lý liên quan đến tìm cực trị. Việc nắm vững định nghĩa, quy tắc tính và cách áp dụng đạo hàm riêng sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và giải bài tập. Chúc các em học tốt!