ĐỊNH LÝ STOKES TRONG VẬT LÝ
I. GIỚI THIỆU
Định lý Stokes là một công cụ toán học mạnh mẽ liên hệ giữa tích phân đường của một trường vectơ dọc theo một đường cong kín và tích phân mặt của curl của trường vectơ đó trên một bề mặt bị chặn bởi đường cong kín đó. Trong Vật lý, đặc biệt là Điện từ học, định lý Stokes đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập các mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý, giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.
II. PHÁT BIỂU ĐỊNH LÝ STOKES
Cho F ⃗ \vec{F} F S S S C C C F ⃗ \vec{F} F C C C F ⃗ \vec{F} F S S S
∮ C F ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∬ S ( ∇ × F ⃗ ) ⋅ d S ⃗ \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} ∮ C F ⋅ d l = ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ d S
Trong đó:
C C C S S S C C C S S S F ⃗ \vec{F} F d l ⃗ d\vec{l} d l C C C S S S C C C ∇ × F ⃗ \nabla \times \vec{F} ∇ × F F ⃗ \vec{F} F d S ⃗ = n ^ d S d\vec{S} = \hat{n}dS d S = n ^ d S S S S n ^ \hat{n} n ^ S S S d S dS d S
III. CÁCH SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ STOKES
Để áp dụng định lý Stokes, cần thực hiện các bước sau:
Xác định trường vectơ F ⃗ \vec{F} F C C C S S S Bài toán sẽ cho sẵn hoặc yêu cầu tính toán các đại lượng này.
Tính curl của trường vectơ F ⃗ \vec{F} F ∇ × F ⃗ \nabla \times \vec{F} ∇ × F Trong hệ tọa độ Descartes, nếu F ⃗ = P i ^ + Q j ^ + R k ^ \vec{F} = P\hat{i} + Q\hat{j} + R\hat{k} F = P i ^ + Q j ^ + R k ^
∇ × F ⃗ = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i ^ + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) j ^ + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k ^ \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \hat{k} ∇ × F = ( ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q ) i ^ + ( ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R ) j ^ + ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) k ^
Chọn mặt S S S C C C Thường thì chọn mặt phẳng đơn giản nhất có thể để tính tích phân dễ dàng.
Tính tích phân mặt của curl của F ⃗ \vec{F} F S S S ∬ S ( ∇ × F ⃗ ) ⋅ d S ⃗ \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ d S Cần tham số hóa mặt S S S
Kiểm tra lại bằng cách tính trực tiếp tích phân đường của F ⃗ \vec{F} F C C C ∮ C F ⃗ ⋅ d l ⃗ \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{l} ∮ C F ⋅ d l Điều này giúp xác nhận kết quả và hiểu rõ hơn về định lý.
IV. ỨNG DỤNG TRONG ĐIỆN TỪ HỌC
Định lý Stokes có nhiều ứng dụng quan trọng trong Điện từ học, đặc biệt là trong việc thiết lập các phương trình Maxwell:
1. Định luật Faraday về cảm ứng điện từ
Định luật Faraday phát biểu rằng suất điện động cảm ứng trong một mạch kín bằng tốc độ biến thiên âm của từ thông qua mạch đó:
E = − d Φ B d t \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} E = − d t d Φ B
Trong đó:
E \mathcal{E} E Φ B = ∬ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} Φ B = ∬ S B ⋅ d S S S S B ⃗ \vec{B} B
Suất điện động cảm ứng cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân đường của điện trường cảm ứng E ⃗ \vec{E} E
E = ∮ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ \mathcal{E} = \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} E = ∮ C E ⋅ d l
Áp dụng định lý Stokes cho vế phải:
∮ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∬ S ( ∇ × E ⃗ ) ⋅ d S ⃗ \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{E}) \cdot d\vec{S} ∮ C E ⋅ d l = ∬ S ( ∇ × E ) ⋅ d S
Kết hợp với định luật Faraday, ta có:
∬ S ( ∇ × E ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = − d d t ∬ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∬ S ( − ∂ B ⃗ ∂ t ) ⋅ d S ⃗ \iint_S (\nabla \times \vec{E}) \cdot d\vec{S} = -\frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = \iint_S \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) \cdot d\vec{S} ∬ S ( ∇ × E ) ⋅ d S = − d t d ∬ S B ⋅ d S = ∬ S ( − ∂ t ∂ B ) ⋅ d S
Do tích phân này đúng với mọi mặt S S S
∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ∇ × E = − ∂ t ∂ B
2. Định luật Ampère-Maxwell
Định luật Ampère-Maxwell tổng quát hóa định luật Ampère, bao gồm cả dòng điện dịch:
∮ C B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ 0 ( I e n c + ϵ 0 d Φ E d t ) \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( I_{enc} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \right) ∮ C B ⋅ d l = μ 0 ( I e n c + ϵ 0 d t d Φ E )
Trong đó:
B ⃗ \vec{B} B I e n c I_{enc} I e n c S S S C C C ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0 μ 0 \mu_0 μ 0 Φ E = ∬ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} Φ E = ∬ S E ⋅ d S S S S E ⃗ \vec{E} E
Áp dụng định lý Stokes cho vế trái:
∮ C B ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∬ S ( ∇ × B ⃗ ) ⋅ d S ⃗ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{S} ∮ C B ⋅ d l = ∬ S ( ∇ × B ) ⋅ d S
Mật độ dòng điện J J J I e n c I_{enc} I e n c
I e n c = ∬ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ I_{enc} = \iint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} I e n c = ∬ S J ⋅ d S
Kết hợp các phương trình trên, ta có:
∬ S ( ∇ × B ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = μ 0 ∬ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ + μ 0 ϵ 0 d d t ∬ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∬ S ( μ 0 J ⃗ + μ 0 ϵ 0 ∂ E ⃗ ∂ t ) ⋅ d S ⃗ \iint_S (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{S} = \mu_0 \iint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iint_S \left( \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \cdot d\vec{S} ∬ S ( ∇ × B ) ⋅ d S = μ 0 ∬ S J ⋅ d S + μ 0 ϵ 0 d t d ∬ S E ⋅ d S = ∬ S ( μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ t ∂ E ) ⋅ d S
Do tích phân này đúng với mọi mặt S S S
∇ × B ⃗ = μ 0 J ⃗ + μ 0 ϵ 0 ∂ E ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ t ∂ E
V. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính tích phân đường bằng định lý Stokes
Cho trường vectơ F ⃗ = ⟨ − y 2 , x , z 2 ⟩ \vec{F} = \langle -y^2, x, z^2 \rangle F = ⟨ − y 2 , x , z 2 ⟩ C C C x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x 2 + y 2 = 1 y + z = 2 y + z = 2 y + z = 2 ∮ C F ⃗ ⋅ d l ⃗ \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{l} ∮ C F ⋅ d l
Giải:
Tính curl của F ⃗ \vec{F} F
∇ × F ⃗ = ∣ i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z − y 2 x z 2 ∣ = ( 0 − 0 ) i ^ − ( 0 − 0 ) j ^ + ( 1 − ( − 2 y ) ) k ^ = ⟨ 0 , 0 , 1 + 2 y ⟩ \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -y^2 & x & z^2 \end{vmatrix} = (0-0)\hat{i} - (0-0)\hat{j} + (1-(-2y))\hat{k} = \langle 0, 0, 1+2y \rangle ∇ × F = i ^ ∂ x ∂ − y 2 j ^ ∂ y ∂ x k ^ ∂ z ∂ z 2 = ( 0 − 0 ) i ^ − ( 0 − 0 ) j ^ + ( 1 − ( − 2 y )) k ^ = ⟨ 0 , 0 , 1 + 2 y ⟩
Chọn mặt S S S Mặt phẳng y + z = 2 y + z = 2 y + z = 2 C C C
Tham số hóa mặt S S S Ta có thể tham số hóa S S S
r ⃗ ( x , y ) = ⟨ x , y , 2 − y ⟩ \vec{r}(x, y) = \langle x, y, 2-y \rangle r ( x , y ) = ⟨ x , y , 2 − y ⟩
với x 2 + y 2 ≤ 1 x^2 + y^2 \leq 1 x 2 + y 2 ≤ 1
Tính các vectơ tiếp tuyến:
r ⃗ x = ∂ r ⃗ ∂ x = ⟨ 1 , 0 , 0 ⟩ \vec{r}_x = \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} = \langle 1, 0, 0 \rangle r x = ∂ x ∂ r = ⟨ 1 , 0 , 0 ⟩
r ⃗ y = ∂ r ⃗ ∂ y = ⟨ 0 , 1 , − 1 ⟩ \vec{r}_y = \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = \langle 0, 1, -1 \rangle r y = ∂ y ∂ r = ⟨ 0 , 1 , − 1 ⟩
Tính vectơ pháp tuyến:
n ⃗ = r ⃗ x × r ⃗ y = ∣ i ^ j ^ k ^ 1 0 0 0 1 − 1 ∣ = ( 0 − 0 ) i ^ − ( − 1 − 0 ) j ^ + ( 1 − 0 ) k ^ = ⟨ 0 , 1 , 1 ⟩ \vec{n} = \vec{r}_x \times \vec{r}_y = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0-0)\hat{i} - (-1-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = \langle 0, 1, 1 \rangle n = r x × r y = i ^ 1 0 j ^ 0 1 k ^ 0 − 1 = ( 0 − 0 ) i ^ − ( − 1 − 0 ) j ^ + ( 1 − 0 ) k ^ = ⟨ 0 , 1 , 1 ⟩
Tính tích phân mặt:
∬ S ( ∇ × F ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = ∬ D ( ∇ × F ⃗ ) ⋅ n ⃗ d A = ∬ D ⟨ 0 , 0 , 1 + 2 y ⟩ ⋅ ⟨ 0 , 1 , 1 ⟩ d A = ∬ D ( 1 + 2 y ) d A \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \iint_D (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} \, dA = \iint_D \langle 0, 0, 1+2y \rangle \cdot \langle 0, 1, 1 \rangle \, dA = \iint_D (1+2y) \, dA ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ d S = ∬ D ( ∇ × F ) ⋅ n d A = ∬ D ⟨ 0 , 0 , 1 + 2 y ⟩ ⋅ ⟨ 0 , 1 , 1 ⟩ d A = ∬ D ( 1 + 2 y ) d A
trong đó D D D x 2 + y 2 ≤ 1 x^2 + y^2 \leq 1 x 2 + y 2 ≤ 1
x = r cos θ x = r\cos\theta x = r cos θ
y = r sin θ y = r\sin\theta y = r sin θ
d A = r d r d θ dA = r dr d\theta d A = r d r d θ
∬ D ( 1 + 2 y ) d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 + 2 r sin θ ) r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r + 2 r 2 sin θ ) d r d θ \iint_D (1+2y) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1+2r\sin\theta) r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r+2r^2\sin\theta) \, dr \, d\theta ∬ D ( 1 + 2 y ) d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 + 2 r sin θ ) r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r + 2 r 2 sin θ ) d r d θ
= ∫ 0 2 π [ r 2 2 + 2 r 3 3 sin θ ] 0 1 d θ = ∫ 0 2 π ( 1 2 + 2 3 sin θ ) d θ = [ θ 2 − 2 3 cos θ ] 0 2 π = π = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} + \frac{2r^3}{3}\sin\theta \right]_0^1 \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\sin\theta \right) \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{2}{3}\cos\theta \right]_0^{2\pi} = \pi = ∫ 0 2 π [ 2 r 2 + 3 2 r 3 sin θ ] 0 1 d θ = ∫ 0 2 π ( 2 1 + 3 2 sin θ ) d θ = [ 2 θ − 3 2 cos θ ] 0 2 π = π
Vậy, ∮ C F ⃗ ⋅ d l ⃗ = π \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{l} = \pi ∮ C F ⋅ d l = π
Ví dụ 2: Sử dụng định lý Stokes để suy ra định luật Faraday
(Đã trình bày trong phần IV.1)
VI. KẾT LUẬN
Định lý Stokes là một công cụ toán học mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong Vật lý, đặc biệt là Điện từ học. Việc nắm vững định lý này giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân đường và tích phân mặt một cách hiệu quả, đồng thời hiểu sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý.