TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ: DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1. Tứ giác nội tiếp

Định nghĩa: Một tứ giác được gọi là nội tiếp đường tròn nếu tất cả bốn đỉnh của tứ giác đó nằm trên một đường tròn.

Tính chất:

• Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180°.
• Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
• Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

2. Công thức Heron

Diện tích tam giác có ba cạnh $a, b, c$ được tính bởi công thức Heron:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

trong đó $p$ là nửa chu vi của tam giác, $p = \frac{a+b+c}{2}$.

3. Định lý cosin

Trong tam giác $ABC$ với các cạnh $a, b, c$ và góc $A$ đối diện cạnh $a$, ta có:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

II. CÔNG THỨC BRAHMAGUPTA (DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NỘI TIẾP)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, có các cạnh lần lượt là $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$. Gọi $p$ là nửa chu vi của tứ giác, $p = \frac{a+b+c+d}{2}$. Khi đó, diện tích $S$ của tứ giác $ABCD$ được tính bởi công thức Brahmagupta:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Chứng minh

Chia tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $ABC$ và $ADC$. Gọi diện tích của hai tam giác này lần lượt là $S_1$ và $S_2$, và gọi $\angle ABC = \alpha$. Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $\angle ADC = 180^\circ - \alpha$.

Khi đó, diện tích tứ giác $ABCD$ là:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}ab\sin\alpha + \frac{1}{2}cd\sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2}ab\sin\alpha + \frac{1}{2}cd\sin\alpha = \frac{1}{2}(ab + cd)\sin\alpha$

Bình phương hai vế, ta được:

$S^2 = \frac{1}{4}(ab + cd)^2\sin^2\alpha = \frac{1}{4}(ab + cd)^2(1 - \cos^2\alpha)$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC$:

$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ADC$:

$AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cos(180^\circ - \alpha) = c^2 + d^2 + 2cd\cos\alpha$

Suy ra:

$a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha = c^2 + d^2 + 2cd\cos\alpha$

$2(ab + cd)\cos\alpha = a^2 + b^2 - c^2 - d^2$

$\cos\alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$

Thay vào biểu thức $S^2$, ta có:

$S^2 = \frac{1}{4}(ab + cd)^2\left[1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}\right)^2\right]$

$S^2 = \frac{1}{4}(ab + cd)^2\left[\frac{4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2}{4(ab + cd)^2}\right]$

$S^2 = \frac{1}{16}\left[4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2\right]$

Sử dụng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, ta được:

$16S^2 = [2(ab + cd) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)][2(ab + cd) + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)]$

$16S^2 = [c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 - 2ab + b^2)][a^2 + 2ab + b^2 - (c^2 - 2cd + d^2)]$

$16S^2 = [(c + d)^2 - (a - b)^2][(a + b)^2 - (c - d)^2]$

$16S^2 = (c + d - a + b)(c + d + a - b)(a + b - c + d)(a + b + c - d)$

Đặt $2p = a + b + c + d$, suy ra $p = \frac{a+b+c+d}{2}$. Ta có:

• $c + d - a + b = 2(p - a)$
• $c + d + a - b = 2(p - b)$
• $a + b - c + d = 2(p - c)$
• $a + b + c - d = 2(p - d)$

Thay vào, ta được:

$16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$

$S^2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$

Vậy,

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Chú ý:

• Nếu $d=0$, tứ giác suy biến thành tam giác và công thức Brahmagupta trở thành công thức Heron.

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, có $AB = 3$, $BC = 4$, $CD = 5$, $DA = 6$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Giải:

Nửa chu vi của tứ giác là: $p = \frac{3 + 4 + 5 + 6}{2} = 9$

Áp dụng công thức Brahmagupta, diện tích tứ giác là:

$S = \sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$

Ví dụ 2: Cho hình thang cân $ABCD$ nội tiếp đường tròn, có đáy lớn $AD = 10$, đáy nhỏ $BC = 4$, cạnh bên $AB = CD = 5$. Tính diện tích hình thang.

Giải:

Nửa chu vi của hình thang là: $p = \frac{10 + 4 + 5 + 5}{2} = 12$

Áp dụng công thức Brahmagupta, diện tích hình thang là:

$S = \sqrt{(12-10)(12-4)(12-5)(12-5)} = \sqrt{2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{784} = 28$

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, có $AB = 2$, $BC = 3$, $CD = 4$, $DA = 5$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.
2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, biết $AB = BC = CD = DA = a$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.
3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn có $AB = 8$, $BC = 6$. Tính diện tích hình chữ nhật. Chứng minh lại bằng công thức Brahmagupta.
4. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, có diện tích $S=10$, các cạnh $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$. Tính độ dài cạnh $DA$.
5. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn có $AB = a$, $BC = a$, $CD = a$ và $DA = a\sqrt{2}$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$ theo $a$.

V. KẾT LUẬN

Công thức Brahmagupta là một công cụ hữu ích để tính diện tích tứ giác nội tiếp khi biết độ dài bốn cạnh. Nắm vững công thức này và các kiến thức nền tảng liên quan sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để làm quen và áp dụng công thức một cách linh hoạt.