TÀI LIỆU HỌC TẬP: ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS - ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG
I. Mở đầu
Trong hình học phẳng, bài toán về tính đồng quy của các đường thẳng và tính thẳng hàng của các điểm là một dạng toán quan trọng và thường gặp. Hai định lý cơ bản và mạnh mẽ để giải quyết các bài toán này là định lý Ceva và định lý Menelaus. Tài liệu này sẽ trình bày chi tiết về hai định lý này, các dạng bài tập thường gặp và các ví dụ minh họa.
II. Định lý Ceva
1. Phát biểu định lý
Cho tam giác ABC. Ba đường thẳng AD, BE, CF lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Khi đó, AD, BE, CF đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi:
DCDB⋅EAEC⋅FBFA=1
2. Chứng minh
- Chiều thuận: Giả sử AD, BE, CF đồng quy tại điểm O. Áp dụng định lý tỉ số diện tích, ta có:
DCDB=SADCSADB=SODCSODB=SADC−SODCSADB−SODB=SAOCSAOB
Tương tự, ta có:
EAEC=SAOBSBOC
FBFA=SBOCSAOC
Nhân ba đẳng thức trên, ta được:
DCDB⋅EAEC⋅FBFA=SAOCSAOB⋅SAOBSBOC⋅SBOCSAOC=1
- Chiều đảo: Giả sử DCDB⋅EAEC⋅FBFA=1. Gọi giao điểm của BE và CF là O, giao điểm của AO và BC là D′. Áp dụng định lý Ceva cho AD′, BE, CF, ta có:
D′CD′B⋅EAEC⋅FBFA=1
Từ đó suy ra D′CD′B=DCDB. Điều này chỉ xảy ra khi D≡D′. Vậy AD, BE, CF đồng quy.
3. Các trường hợp đặc biệt và mở rộng
- Ceva dạng sin: Trong tam giác ABC, các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi:
sin∠CADsin∠BAD⋅sin∠ABEsin∠CBE⋅sin∠BCFsin∠ACF=1
- Ceva cho đường trung tuyến: Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại trọng tâm.
- Ceva cho đường phân giác: Ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm BC, E là điểm trên AC sao cho AE=2EC, AD cắt BE tại G. Tính tỉ số GEBG.
Giải:
Gọi F là giao điểm của CG và AB. Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC, ta có:
DCDB⋅EAEC⋅FBFA=1
Do D là trung điểm BC nên DCDB=1. Theo đề bài, EAEC=21. Suy ra FBFA=2.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACE và cát tuyến BGE, ta có:
BDCB⋅GADG⋅ECAE=1
Từ đó ta tìm được GEBG.
III. Định lý Menelaus
1. Phát biểu định lý
Cho tam giác ABC. Ba điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho D, E, F không trùng với các đỉnh của tam giác. Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi:
DCDB⋅EAEC⋅FBFA=−1
(Qui ước: Nếu D nằm trên tia đối của tia BC thì tỉ số DCDB mang dấu âm)
2. Chứng minh
- Chiều thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng. Kẻ AA′ vuông góc với DEF, BB′ vuông góc với DEF, CC′ vuông góc với DEF. Theo định lý Thales, ta có:
DCDB=−CC′BB′
EAEC=−AA′CC′
FBFA=−BB′AA′
Nhân ba đẳng thức trên, ta được:
DCDB⋅EAEC⋅FBFA=−CC′BB′⋅−AA′CC′⋅−BB′AA′=−1
- Chiều đảo: Giả sử DCDB⋅EAEC⋅FBFA=−1. Gọi giao điểm của DE và AB là F′. Áp dụng định lý Menelaus cho D, E, F′ ta có:
DCDB⋅EAEC⋅F′BF′A=−1
Từ đó suy ra F′BF′A=FBFA. Điều này chỉ xảy ra khi F≡F′. Vậy D, E, F thẳng hàng.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các điểm D, E lần lượt nằm trên BC, CA sao cho BD=2DC, AE=3EC. Gọi F là giao điểm của AB và DE. Tính tỉ số FBFA.
Giải:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và cát tuyến DEF, ta có:
DCDB⋅EAEC⋅FBFA=−1
Theo đề bài, DCDB=2 và EAEC=31. Suy ra:
2⋅31⋅FBFA=−1
Vậy FBFA=−23.
IV. Bài tập vận dụng
- Cho tam giác ABC, D là trung điểm BC, E là điểm trên AC sao cho AE=2EC. AD cắt BE tại G. Tính GDAG.
- Cho tam giác ABC, D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF là các đường phân giác trong. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.
- Cho tam giác ABC, D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB sao cho D, E, F thẳng hàng. Chứng minh rằng nếu AD, BE, CF đồng quy thì các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm khác.
- Cho tam giác ABC, D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB sao cho AD, BE, CF đồng quy tại O. Chứng minh:
a) ODOA=ECEA+FBFA
b) ADOD+BEOE+CFOF=1
V. Kết luận
Định lý Ceva và Menelaus là hai công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán về đồng quy và thẳng hàng. Việc nắm vững và vận dụng linh hoạt hai định lý này sẽ giúp các em học sinh giải quyết được nhiều bài toán hình học phức tạp. Chúc các em học tốt!