Tài liệu học tập: Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong giải toán Hình học lớp 7

I. Giới thiệu chung

Trong hình học, việc vẽ thêm đường phụ là một kỹ thuật quan trọng và thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó. Đường phụ giúp chúng ta tạo ra các yếu tố mới, khai thác các mối quan hệ hình học tiềm ẩn, từ đó đơn giản hóa bài toán và tìm ra lời giải.

Các loại đường phụ thường được sử dụng trong chương trình Hình học lớp 7 bao gồm:

• Đường trung tuyến: Đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.
• Đường cao: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện).
• Đường phân giác: Tia nằm trong một góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
• Đường trung trực: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
• Đường song song: Đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng khác.
• Đoạn thẳng nối hai điểm đặc biệt: Nối trung điểm, chân đường cao,...

II. Các loại đường phụ thường gặp và ứng dụng

1. Đường trung tuyến

a) Định nghĩa:

Trong tam giác $\triangle ABC$, đường trung tuyến $AM$ là đoạn thẳng nối đỉnh $A$ với trung điểm $M$ của cạnh $BC$.

b) Tính chất:

• Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của cạnh đáy.
• Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

c) Ứng dụng:

• Bài toán 1: Cho tam giác $\triangle ABC$, trung tuyến $AM$. Biết $AB = AC$, chứng minh $AM$ là đường cao.

  Gợi ý: Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.c.c) $\Rightarrow \angle AMB = \angle AMC$. Mà $\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ$ nên $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$.

• Bài toán 2: Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM = \frac{1}{2}BC$.

  Gợi ý: Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

• Bài toán 3: Cho tam giác $\triangle ABC$, trung tuyến $AM$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$. Chứng minh:

  • a) $\triangle ABM = \triangle DCM$
  • b) $AB // CD$

  Gợi ý: * a) Chứng minh theo trường hợp c.g.c * b) Sử dụng hai góc so le trong bằng nhau.

2. Đường cao

a) Định nghĩa:

Trong tam giác $\triangle ABC$, đường cao $AH$ là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ tại điểm $H$.

b) Tính chất:

• Ba đường cao của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
• Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của cạnh đáy.

c) Ứng dụng:

• Bài toán 1: Cho tam giác $\triangle ABC$ cân tại $A$, $AH$ là đường cao. Chứng minh $AH$ là đường trung tuyến.

  Gợi ý: Chứng minh $\triangle AHB = \triangle AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow HB = HC$.

• Bài toán 2: Cho tam giác $\triangle ABC$ có $AB = AC$, đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Chứng minh:

  • a) $AH$ là đường phân giác của góc $\angle BAC$
  • b) $HM$ là đường trung trực của $AC$

  Gợi ý: * a) Chứng minh $\triangle AHB = \triangle AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). * b) $M$ là trung điểm $AC$, $\triangle AHC$ vuông tại $H$, $HM$ là trung tuyến $\Rightarrow HM = \frac{1}{2}AC = AM = MC$. Suy ra $M$ thuộc đường trung trực của $AC$. Lại có $H$ thuộc đường trung trực của $AC$.

3. Đường phân giác

a) Định nghĩa:

Trong tam giác $\triangle ABC$, đường phân giác $AD$ là đoạn thẳng nằm trong góc $\angle BAC$ và chia góc đó thành hai góc bằng nhau ($\angle BAD = \angle CAD$).

b) Tính chất:

• Ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường trung trực của cạnh đáy.
• Tính chất đường phân giác của một góc: Điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

c) Ứng dụng:

• Bài toán 1: Cho tam giác $\triangle ABC$ cân tại $A$, $AD$ là đường phân giác. Chứng minh $AD$ là đường cao.

  Gợi ý: Chứng minh $\triangle ABD = \triangle ACD$ (c.g.c) $\Rightarrow \angle ADB = \angle ADC$. Mà $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ nên $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$.

• Bài toán 2: Cho tam giác $\triangle ABC$, $AD$ là phân giác. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh $\triangle ADE$ cân.

  Gợi ý: Sử dụng tính chất hai góc so le trong và đồng vị bằng nhau khi hai đường thẳng song song.

• Bài toán 3: Cho tam giác $\triangle ABC$, $AD$ là đường phân giác của góc $\angle BAC$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AB = AE$. Chứng minh $\triangle ABD = \triangle AED$.

  Gợi ý: Chứng minh theo trường hợp c.g.c

4. Đường trung trực

a) Định nghĩa:

Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng $AB$ tại trung điểm $I$ của đoạn thẳng đó.

b) Tính chất:

• Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
• Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

c) Ứng dụng:

• Bài toán 1: Cho tam giác $\triangle ABC$, trung trực của cạnh $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $D$. Chứng minh $DB = DC$.

  Gợi ý: Sử dụng tính chất điểm nằm trên đường trung trực.

• Bài toán 2: Cho tam giác $\triangle ABC$, $AB = AC$. Chứng minh đường trung trực của cạnh $BC$ đi qua đỉnh $A$.

  Gợi ý: Chứng minh $A$ cách đều $B$ và $C$ nên $A$ thuộc đường trung trực của $BC$.

5. Đường song song

a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.

b) Tính chất:

• Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau, các cặp góc trong cùng phía bù nhau.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
• Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

c) Ứng dụng:

• Bài toán 1: Cho tam giác $\triangle ABC$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $BC$. Chứng minh $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

  Gợi ý: Sử dụng tính chất các cặp góc so le trong bằng nhau.

• Bài toán 2: Cho tam giác $\triangle ABC$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ song song $BC$. Chứng minh $\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$.

  Gợi ý: Sử dụng tính chất của góc ngoài tam giác.

6. Đoạn thẳng nối hai điểm đặc biệt

a) Ứng dụng:

• Bài toán 1: Cho tam giác $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AC$. Chứng minh $MN // AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$ (Đường trung bình của tam giác).

  Gợi ý: Vẽ thêm trung điểm $P$ của $AB$. Chứng minh $MN // AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$ bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác bằng nhau, đường trung bình của tam giác.

• Bài toán 2: Cho tam giác $\triangle ABC$, $AH$ là đường cao, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM \geq AH$.

  Gợi ý: So sánh $AM$ với $AM$ và sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vuông.

III. Các bước giải bài toán hình học bằng cách vẽ thêm đường phụ

1. Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ giả thiết, kết luận của bài toán.
2. Vẽ hình: Vẽ hình chính xác, đầy đủ các yếu tố đề bài cho.
3. Phân tích bài toán: Xác định các yếu tố đã cho, yếu tố cần chứng minh hoặc tính toán, mối liên hệ giữa chúng.
4. Lựa chọn đường phụ: Căn cứ vào giả thiết, kết luận và hình vẽ để lựa chọn đường phụ phù hợp.
5. Vẽ đường phụ: Vẽ đường phụ vào hình vẽ.
6. Chứng minh hoặc tính toán: Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh hoặc tính toán các yếu tố liên quan.
7. Kết luận: Nêu kết luận của bài toán.

IV. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác $\triangle ABC$ cân tại $A$, $\angle A = 100^\circ$. Kẻ $BH$ vuông góc với $AC$ ($H$ thuộc $AC$), kẻ $CK$ vuông góc với $AB$ ($K$ thuộc $AB$).

• a) Chứng minh $AH = AK$.
• b) Tính góc $\angle BHC$.

Phân tích:

• $\triangle ABC$ cân tại $A$ $\Rightarrow AB = AC$
• $BH \perp AC$ và $CK \perp AB$

Hướng giải:

• a) Chứng minh $\triangle ABH = \triangle ACK$ (cạnh huyền - góc nhọn).
• b) Tính các góc trong tam giác và sử dụng định lý tổng ba góc trong tam giác.

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACK$ có:

• $\angle A$ chung
• $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)
• $\angle AHB = \angle AKC = 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle ABH = \triangle ACK$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AH = AK$ (hai cạnh tương ứng)

b) $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $\angle A = 100^\circ$

$\Rightarrow \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ$

$\triangle BHC$ vuông tại $H$ có $\angle BCH = 40^\circ$

$\Rightarrow \angle BHC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$

Ví dụ 2: Cho tam giác $\triangle ABC$ có $\angle B = 2\angle C$. Kẻ đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BH$. Đường thẳng $EH$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DH$ là phân giác của góc $\angle BDA$.

Phân tích:

• $\angle B = 2\angle C$
• $AH \perp BC$
• $BE = BH$

Hướng giải:

• Vẽ đường phân giác $Bx$ của góc $\angle ABH$. Chứng minh $Bx$ // $AH$ và $\triangle ABD$ cân tại $D$.
• Chứng minh $DH$ là phân giác của $\angle BDA$.

Lời giải:

Vẽ tia $Bx$ là phân giác của $\angle ABH$ ($x \in AH$).

$\Rightarrow \angle ABx = \angle xBH = \frac{1}{2} \angle ABH$

$\triangle BEH$ có $BE = BH$ nên cân tại $B$ $\Rightarrow \angle BEH = \angle BHE$

$\angle ABH = 180^\circ - (\angle BEH + \angle BHE) = 180^\circ - 2\angle BEH$

$\Rightarrow \angle BEH = \angle BHE = \frac{180^\circ - \angle ABH}{2} = 90^\circ - \frac{\angle ABH}{2}$

$\triangle ABH$ vuông tại $H$ $\Rightarrow \angle BAH = 90^\circ - \angle ABH$

$\angle ABx = \angle xBH = \frac{1}{2} \angle ABH$

$\angle BHA = 90^\circ$, $\angle BxH = 90^\circ - \angle xBH = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle ABH = \angle BEH$

$\Rightarrow Bx // AH$

$\angle ABH = 2\angle ACB$ (giả thiết) $\Rightarrow \angle xBH = \angle ACB$

$\Rightarrow \triangle BDH$ cân tại $D$ $\Rightarrow DB = DH$

$\triangle BEH$ cân tại $B$ $\Rightarrow \angle BEH = \angle BHE$

$\Rightarrow \angle ADB = \angle AED + \angle EAD = \angle BHD + \angle DAC$

$\Rightarrow DH$ là phân giác $\angle BDA$.

V. Bài tập tự luyện

1. Cho tam giác $\triangle ABC$ có $AB < AC$. Kẻ đường cao $AH$. So sánh $HB$ và $HC$.
2. Cho tam giác $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM < \frac{AB + AC}{2}$.
3. Cho tam giác $\triangle ABC$, $AB = AC$, $\angle A = 100^\circ$. Kẻ $BD$ là phân giác của góc $\angle B$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh $DE = BC$.
4. Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Đường trung trực của cạnh $BC$ cắt $AC$ tại $D$. Chứng minh $BD$ là phân giác của góc $\angle ABC$.
5. Cho tam giác $\triangle ABC$ có $\angle A = 90^\circ$, $AB < AC$. Kẻ $AH$ vuông góc $BC$. Trên tia $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB$. Đường thẳng kẻ từ $D$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh $AE = AB$.

Gợi ý: Các bài tập này đều có thể giải quyết bằng cách vẽ thêm đường phụ thích hợp. Hãy suy nghĩ kỹ về giả thiết và kết luận của bài toán để lựa chọn đường phụ phù hợp.

Chúc các em học tốt!