TÀI LIỆU HỌC TẬP: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Dành cho học sinh lớp 11

---

Mục lục

1. Giới thiệu chung về phép biến hình
2. Phép tịnh tiến
   • Định nghĩa và tính chất
   • Biểu thức tọa độ
   • Ứng dụng và bài tập
3. Phép đối xứng trục
   • Định nghĩa và tính chất
   • Biểu thức tọa độ
   • Ứng dụng và bài tập
4. Phép đối xứng tâm
   • Định nghĩa và tính chất
   • Biểu thức tọa độ
   • Ứng dụng và bài tập
5. Phép quay
   • Định nghĩa và tính chất
   • Biểu thức tọa độ
   • Ứng dụng và bài tập
6. Phép vị tự
   • Định nghĩa và tính chất
   • Biểu thức tọa độ
   • Ứng dụng và bài tập
7. Các phép biến hình trong giải toán hình học
   • Ứng dụng phép tịnh tiến
   • Ứng dụng phép đối xứng
   • Ứng dụng phép quay
   • Ứng dụng phép vị tự
8. Bài tập tổng hợp
9. Đáp án và hướng dẫn giải

---

1. Giới thiệu chung về phép biến hình

Định nghĩa: Phép biến hình là một quy tắc cho tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm duy nhất $M'$ của mặt phẳng đó.

• $M'$ được gọi là ảnh của $M$ qua phép biến hình.
• Kí hiệu phép biến hình là $F$.
• Nếu $F$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$, ta viết $F(M) = M'$.

Phép biến hình đồng nhất: Phép biến hình biến mọi điểm thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Phép biến hình ngược: Nếu phép biến hình $F$ biến $M$ thành $M'$ thì phép biến hình biến $M'$ thành $M$ được gọi là phép biến hình ngược của $F$, kí hiệu là $F^{-1}$.

Ảnh của một hình qua phép biến hình:

• Ảnh của hình $\mathcal{H}$ qua phép biến hình $F$ là tập hợp tất cả các điểm $M'$ là ảnh của các điểm $M$ thuộc $\mathcal{H}$.
• Kí hiệu: $F(\mathcal{H})$.

Tính chất chung:

• Nếu $F$ biến đoạn thẳng $AB$ thành đoạn thẳng $A'B'$ thì $A'B' = AB$ khi và chỉ khi $F$ là phép dời hình.
• Nếu $F$ là phép dời hình thì $F$ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.
• Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, góc thành góc bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

---

2. Phép tịnh tiến

2.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{MM'} = \vec{v}$.

• Kí hiệu: $T_{\vec{v}}$.
• $M'$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$, kí hiệu $M' = T_{\vec{v}}(M)$.

Tính chất:

• Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
• Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.
• Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2.2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{v} = (a; b)$ và điểm $M(x; y)$. Gọi $M'(x'; y')$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$. Ta có:

$\overrightarrow{MM'} = \vec{v} \Leftrightarrow \begin{cases} x' - x = a \\ y' - y = b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$

Đây là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (a; b)$.

2.3. Ứng dụng và bài tập

Ứng dụng:

• Chứng minh các bài toán hình học liên quan đến tính song song, bằng nhau.
• Tìm ảnh của một hình qua phép tịnh tiến.
• Tìm quỹ tích điểm.

Bài tập:

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A(2; 1)$ và vectơ $\vec{v} = (3; -2)$. Tìm ảnh của điểm $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.
2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d: 2x - y + 1 = 0$. Tìm ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (1; 3)$.
3. Chứng minh rằng phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

---

3. Phép đối xứng trục

3.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Phép đối xứng trục $d$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn $MM'$.

• Kí hiệu: $Đ_d$.
• $M'$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trục $d$, kí hiệu $M' = Đ_d(M)$.

Tính chất:

• Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
• Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.
• Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, góc thành góc bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3.2. Biểu thức tọa độ

1. Đối xứng qua trục $Ox$:

   Cho điểm $M(x; y)$, ảnh $M'(x'; y')$ của $M$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có tọa độ:

   $\begin{cases} x' = x \\ y' = -y \end{cases}$

2. Đối xứng qua trục $Oy$:

   Cho điểm $M(x; y)$, ảnh $M'(x'; y')$ của $M$ qua phép đối xứng trục $Oy$ có tọa độ:

   $\begin{cases} x' = -x \\ y' = y \end{cases}$

3.3. Ứng dụng và bài tập

Ứng dụng:

• Chứng minh các bài toán hình học liên quan đến tính đối xứng.
• Tìm ảnh của một hình qua phép đối xứng trục.
• Tìm quỹ tích điểm.

Bài tập:

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A(3; -2)$. Tìm ảnh của điểm $A$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và qua phép đối xứng trục $Oy$.
2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d: x + 2y - 3 = 0$. Tìm ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
3. Chứng minh rằng phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

---

4. Phép đối xứng tâm

4.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Phép đối xứng tâm $I$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn $MM'$.

• Kí hiệu: $Đ_I$.
• $M'$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng tâm $I$, kí hiệu $M' = Đ_I(M)$.

Tính chất:

• Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.
• Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.
• Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, góc thành góc bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

4.2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $I(x_I; y_I)$ và điểm $M(x; y)$. Gọi $M'(x'; y')$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng tâm $I$. Ta có:

$\overrightarrow{IM'} = -\overrightarrow{IM} \Leftrightarrow \begin{cases} x' - x_I = -(x - x_I) \\ y' - y_I = -(y - y_I) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x' = 2x_I - x \\ y' = 2y_I - y \end{cases}$

Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I(x_I; y_I)$.

Trường hợp đặc biệt: Đối xứng qua gốc tọa độ $O(0; 0)$:

$\begin{cases} x' = -x \\ y' = -y \end{cases}$

4.3. Ứng dụng và bài tập

Ứng dụng:

• Chứng minh các bài toán hình học liên quan đến tính đối xứng tâm.
• Tìm ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm.
• Tìm quỹ tích điểm.

Bài tập:

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A(1; -3)$ và tâm đối xứng $I(2; 1)$. Tìm ảnh của điểm $A$ qua phép đối xứng tâm $I$.
2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d: 3x - y + 2 = 0$. Tìm ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$.
3. Chứng minh rằng phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

---

5. Phép quay

5.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $OM' = OM$ và góc $(OM, OM') = \alpha$.

• Kí hiệu: $Q_{(O, \alpha)}$.
• Quy ước chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là chiều kim đồng hồ.
• $M'$ là ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$, kí hiệu $M' = Q_{(O, \alpha)}(M)$.

Tính chất:

• Phép quay là một phép dời hình.
• Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.
• Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, góc thành góc bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

5.2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M(x; y)$. Gọi $M'(x'; y')$ là ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$. Ta có:

$\begin{cases} x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha \end{cases}$

Đây là biểu thức tọa độ của phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$.

5.3. Ứng dụng và bài tập

Ứng dụng:

• Chứng minh các bài toán hình học liên quan đến tính quay.
• Tìm ảnh của một hình qua phép quay.
• Tìm quỹ tích điểm.

Bài tập:

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A(1; 0)$. Tìm ảnh của điểm $A$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $90^\circ$.
2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d: x + y - 1 = 0$. Tìm ảnh của $d$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $-90^\circ$.
3. Chứng minh rằng phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

---

6. Phép vị tự

6.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{IM'} = k\overrightarrow{IM}$.

• Kí hiệu: $V_{(I, k)}$.
• $M'$ là ảnh của $M$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$, kí hiệu $M' = V_{(I, k)}(M)$.

Tính chất:

• Phép vị tự tỉ số $k$ biến hai điểm $M$, $N$ thành hai điểm $M'$, $N'$ sao cho $M'N' = |k|MN$.
• Phép vị tự bảo toàn tính thẳng hàng của ba điểm.
• Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, góc thành góc bằng nó, tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, đường tròn thành đường tròn có bán kính gấp $|k|$ lần.

6.2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $I(x_I; y_I)$ và điểm $M(x; y)$. Gọi $M'(x'; y')$ là ảnh của $M$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$. Ta có:

$\overrightarrow{IM'} = k\overrightarrow{IM} \Leftrightarrow \begin{cases} x' - x_I = k(x - x_I) \\ y' - y_I = k(y - y_I) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x' = kx + (1 - k)x_I \\ y' = ky + (1 - k)y_I \end{cases}$

Đây là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$.

Trường hợp đặc biệt: Vị tự tâm $O$ tỉ số $k$:

$\begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases}$

6.3. Ứng dụng và bài tập

Ứng dụng:

• Chứng minh các bài toán hình học liên quan đến tính đồng dạng.
• Tìm ảnh của một hình qua phép vị tự.
• Tìm quỹ tích điểm.

Bài tập:

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A(2; -1)$ và tâm vị tự $I(1; 0)$ tỉ số $k = 2$. Tìm ảnh của điểm $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k = 2$.
2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$. Tìm ảnh của $(C)$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = -2$.
3. Chứng minh rằng phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn.

---

7. Các phép biến hình trong giải toán hình học

7.1. Ứng dụng phép tịnh tiến

• Bài toán 1: Cho hai đường tròn $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Một đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $A$ cắt $(O_1)$ tại $C$ và cắt $(O_2)$ tại $D$. Tìm vị trí của $d$ để $CD$ lớn nhất.

  Gợi ý: Tịnh tiến $(O_1)$ theo vectơ $\overrightarrow{O_1O_2}$ để được $(O')$. Khi đó, ảnh của $C$ là $C'$ và $CD = CC'$.

7.2. Ứng dụng phép đối xứng

• Bài toán 2: Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A$, $B$ nằm cùng phía so với $d$. Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $AM + MB$ nhỏ nhất.

  Gợi ý: Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $d$. Khi đó, $AM = A'M$ và bài toán trở thành tìm $M$ trên $d$ để $A'M + MB$ nhỏ nhất.

7.3. Ứng dụng phép quay

• Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông $ABEF$ và $ACGH$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $AM = \frac{1}{2}FG$ và $AM \perp FG$.

  Gợi ý: Quay tam giác $AFG$ quanh $A$ một góc $90^\circ$.

7.4. Ứng dụng phép vị tự

• Bài toán 4: Cho hai đường tròn $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $A$. Vẽ các đường kính $O_1B$ và $O_2C$. Chứng minh rằng $B$, $A$, $C$ thẳng hàng.

  Gợi ý: Vị tự đường tròn $(O_1; R_1)$ tâm $A$ tỉ số $-\frac{R_2}{R_1}$.

---

8. Bài tập tổng hợp

1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(1; 2)$, $B(3; -1)$, $C(-2; 4)$.

   • Tìm tọa độ ảnh của các điểm $A$, $B$, $C$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (2; -3)$.
   • Tìm tọa độ ảnh của các điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
   • Tìm tọa độ ảnh của các điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng tâm $O$.
   • Tìm tọa độ ảnh của các điểm $A$, $B$, $C$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $90^\circ$.
   • Tìm tọa độ ảnh của các điểm $A$, $B$, $C$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = 2$.

2. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$.

   • Tìm ảnh của $(C)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (1; -2)$.
   • Tìm ảnh của $(C)$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
   • Tìm ảnh của $(C)$ qua phép đối xứng tâm $I(1; 1)$.
   • Tìm ảnh của $(C)$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $90^\circ$.
   • Tìm ảnh của $(C)$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = -1$.

3. Cho hai đường tròn $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Một đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $A$ cắt $(O_1)$ tại $M$ và cắt $(O_2)$ tại $N$ ( $M, N$ khác $A$).

   • Tìm tập hợp trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$.
   • Tìm vị trí của đường thẳng $d$ để $MN$ lớn nhất.

---

9. Đáp án và hướng dẫn giải

(Phần này sẽ được bổ sung sau)