TÀI LIỆU HỌC TẬP: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC (LỚP 8)

I. ĐỊNH NGHĨA HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có ba cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Ký hiệu: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Điều này có nghĩa:

• $\widehat{A} = \widehat{A'}$, $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$
• $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k$ (k là tỉ số đồng dạng)

II. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất (Cạnh - Cạnh - Cạnh): CCC

Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Minh họa:

Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$

Khi đó: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Ví dụ:

Cho $\triangle ABC$ có $AB = 3 \text{ cm}$, $AC = 4 \text{ cm}$, $BC = 5 \text{ cm}$. Cho $\triangle DEF$ có $DE = 6 \text{ cm}$, $DF = 8 \text{ cm}$, $EF = 10 \text{ cm}$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Giải:

Ta có:

$\frac{AB}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ $\frac{AC}{DF} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ $\frac{BC}{EF} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}$

Vậy, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (theo trường hợp CCC).

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai (Cạnh - Góc - Cạnh): CGC

Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Minh họa:

Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có:

• $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$
• $\widehat{A} = \widehat{A'}$

Khi đó: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Ví dụ:

Cho $\triangle ABC$ có $AB = 4 \text{ cm}$, $AC = 6 \text{ cm}$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Cho $\triangle DEF$ có $DE = 2 \text{ cm}$, $DF = 3 \text{ cm}$, $\widehat{D} = 60^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Giải:

Ta có:

$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{2} = 2$ $\frac{AC}{DF} = \frac{6}{3} = 2$

Suy ra: $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$

Lại có: $\widehat{A} = \widehat{D} = 60^\circ$

Vậy, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (theo trường hợp CGC).

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba (Góc - Góc): GG (hoặc GGC)

Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Minh họa:

Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có:

• $\widehat{A} = \widehat{A'}$
• $\widehat{B} = \widehat{B'}$

Khi đó: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Lưu ý: Khi biết hai góc của hai tam giác bằng nhau, góc còn lại cũng sẽ bằng nhau (vì tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$).

Ví dụ:

Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 70^\circ$, $\widehat{B} = 50^\circ$. Cho $\triangle DEF$ có $\widehat{D} = 70^\circ$, $\widehat{E} = 50^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Giải:

Ta có:

$\widehat{A} = \widehat{D} = 70^\circ$ $\widehat{B} = \widehat{E} = 50^\circ$

Vậy, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (theo trường hợp GG).

III. ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ

Nếu $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, thì ta có: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$

2. Chứng minh các góc bằng nhau

Nếu $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, thì ta có: $\widehat{A} = \widehat{A'}$, $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$

3. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Sử dụng tỉ số đồng dạng hoặc các góc tương ứng để tính toán.

4. Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc

Ứng dụng các tính chất của tam giác đồng dạng để suy ra các mối quan hệ song song, vuông góc.

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 8 \text{ cm}$, $AC = 10 \text{ cm}$, $A'B' = 9 \text{ cm}$, $B'C' = 12 \text{ cm}$, $A'C' = 15 \text{ cm}$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Bài 2: Cho $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có $AB = 3 \text{ cm}$, $AC = 5 \text{ cm}$, $\widehat{A} = 70^\circ$, $DE = 6 \text{ cm}$, $DF = 10 \text{ cm}$, $\widehat{D} = 70^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Bài 3: Cho $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có $\widehat{A} = 50^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$, $\widehat{M} = 50^\circ$, $\widehat{N} = 60^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle MNP$.

Bài 4: Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$), $AB = 4 \text{ cm}$, $CD = 8 \text{ cm}$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

a) Chứng minh $\triangle OAB \sim \triangle OCD$. b) Tính tỉ số $\frac{OA}{OC}$ và $\frac{OB}{OD}$.

Bài 5: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

a) Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle HBA$. b) Chứng minh $AB^2 = BH \cdot BC$.

Lời khuyên: Để nắm vững kiến thức về tam giác đồng dạng, các em nên làm nhiều bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao. Hãy cố gắng vận dụng các trường hợp đồng dạng và các ứng dụng của nó vào giải bài tập. Chúc các em học tốt!