Quay lại danh sách
MATHKhối 723/05/2025

Bằng nhau tam giác

TÀI LIỆU HỌC TẬP: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC

1. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CẠNH - CẠNH - CẠNH (C-C-C)

1.1. Định lý

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

1.2. Minh họa

Cho △ABC\triangle ABC và △A′B′C′\triangle A'B'C' có:

  • AB=A′B′AB = A'B'
  • AC=A′C′AC = A'C'
  • BC=B′C′BC = B'C'

Khi đó: △ABC=△A′B′C′\triangle ABC = \triangle A'B'C' (c-c-c)

1.3. Hình vẽ

\begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (3,0);
    \coordinate (C) at (1.5,2.5);

    \coordinate (Ap) at (5,0);
    \coordinate (Bp) at (8,0);
    \coordinate (Cp) at (6.5,2.5);

    \draw (A) -- (B) node[midway, below] {$a$};
    \draw (B) -- (C) node[midway, right] {$b$};
    \draw (C) -- (A) node[midway, left] {$c$};

    \draw (Ap) -- (Bp) node[midway, below] {$a$};
    \draw (Bp) -- (Cp) node[midway, right] {$b$};
    \draw (Cp) -- (Ap) node[midway, left] {$c$};

    \node at (A) [left] {$A$};
    \node at (B) [right] {$B$};
    \node at (C) [above] {$C$};

    \node at (Ap) [left] {$A'$};
    \node at (Bp) [right] {$B'$};
    \node at (Cp) [above] {$C'$};
\end{tikzpicture}

1.4. Ví dụ

Bài toán: Cho hình vẽ sau, biết AB=CDAB = CD và AD=BCAD = BC. Chứng minh rằng △ABC=△CDA\triangle ABC = \triangle CDA.

\begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (3,0);
    \coordinate (C) at (4,2);
    \coordinate (D) at (1,2);

    \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    \draw (A) -- (C);

    \node at (A) [left] {$A$};
    \node at (B) [below] {$B$};
    \node at (C) [above right] {$C$};
    \node at (D) [above left] {$D$};
\end{tikzpicture}

Giải:

Xét △ABC\triangle ABC và △CDA\triangle CDA có:

  • AB=CDAB = CD (giả thiết)
  • BC=DABC = DA (giả thiết)
  • ACAC là cạnh chung

Suy ra △ABC=△CDA\triangle ABC = \triangle CDA (c-c-c)

2. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CẠNH - GÓC - CẠNH (C-G-C)

2.1. Định lý

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

2.2. Minh họa

Cho △ABC\triangle ABC và △A′B′C′\triangle A'B'C' có:

  • AB=A′B′AB = A'B'
  • BAC^=B′A′C′^\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}
  • AC=A′C′AC = A'C'

Khi đó: △ABC=△A′B′C′\triangle ABC = \triangle A'B'C' (c-g-c)

2.3. Hình vẽ

\begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (3,0);
    \coordinate (C) at (1,2);

    \coordinate (Ap) at (5,0);
    \coordinate (Bp) at (8,0);
    \coordinate (Cp) at (6,2);

    \draw (A) -- (B) node[midway, below] {$a$};
    \draw (A) -- (C) node[midway, above left] {$b$};
    \draw (B) -- (C);

    \draw (Ap) -- (Bp) node[midway, below] {$a$};
    \draw (Ap) -- (Cp) node[midway, above left] {$b$};
    \draw (Bp) -- (Cp);

    \node at (A) [left] {$A$};
    \node at (B) [right] {$B$};
    \node at (C) [above] {$C$};
    \node at (Ap) [left] {$A'$};
    \node at (Bp) [right] {$B'$};
    \node at (Cp) [above] {$C'$};
    \pic [draw, angle radius=0.4cm, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle=B--A--C};
    \pic [draw, angle radius=0.4cm, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle=Bp--Ap--Cp};

\end{tikzpicture}

2.4. Ví dụ

Bài toán: Cho hình vẽ sau, biết OA=OCOA = OC, OB=ODOB = OD. Chứng minh rằng △AOD=△COB\triangle AOD = \triangle COB.

\begin{tikzpicture}
    \coordinate (O) at (0,0);
    \coordinate (A) at (-2,1);
    \coordinate (B) at (2,2);
    \coordinate (C) at (2,-1);
    \coordinate (D) at (-2,-2);

    \draw (A) -- (O) -- (B);
    \draw (B) -- (C) -- (O);
    \draw (C) -- (D) -- (O);
    \draw (D) -- (A);

    \node at (O) [below left] {$O$};
    \node at (A) [left] {$A$};
    \node at (B) [right] {$B$};
    \node at (C) [right] {$C$};
    \node at (D) [left] {$D$};
\end{tikzpicture}

Giải:

Xét △AOD\triangle AOD và △COB\triangle COB có:

  • OA=OCOA = OC (giả thiết)
  • AOD^=COB^\widehat{AOD} = \widehat{COB} (hai góc đối đỉnh)
  • OD=OBOD = OB (giả thiết)

Suy ra △AOD=△COB\triangle AOD = \triangle COB (c-g-c)

3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU GÓC - CẠNH - GÓC (G-C-G)

3.1. Định lý

Nếu hai góc và cạnh xen giữa của tam giác này bằng hai góc và cạnh xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

3.2. Minh họa

Cho △ABC\triangle ABC và △A′B′C′\triangle A'B'C' có:

  • BAC^=B′A′C′^\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}
  • AB=A′B′AB = A'B'
  • ABC^=A′B′C′^\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}

Khi đó: △ABC=△A′B′C′\triangle ABC = \triangle A'B'C' (g-c-g)

3.3. Hình vẽ

\begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (3,0);
    \coordinate (C) at (1,2);

    \coordinate (Ap) at (5,0);
    \coordinate (Bp) at (8,0);
    \coordinate (Cp) at (6,2);

    \draw (A) -- (B) node[midway, below] {$c$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (C);

    \draw (Ap) -- (Bp) node[midway, below] {$c$};
    \draw (Ap) -- (Cp);
    \draw (Bp) -- (Cp);

    \node at (A) [left] {$A$};
    \node at (B) [right] {$B$};
    \node at (C) [above] {$C$};
    \node at (Ap) [left] {$A'$};
    \node at (Bp) [right] {$B'$};
    \node at (Cp) [above] {$C'$};

    \pic [draw, angle radius=0.4cm, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle=B--A--C};
    \pic [draw, angle radius=0.4cm, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle=Bp--Ap--Cp};
    \pic [draw, angle radius=0.4cm, "$\beta$", angle eccentricity=1.5] {angle=A--B--C};
    \pic [draw, angle radius=0.4cm, "$\beta$", angle eccentricity=1.5] {angle=Ap--Bp--Cp};
\end{tikzpicture}

3.4. Ví dụ

Bài toán: Cho hình vẽ sau, biết BAC^=DAC^\widehat{BAC} = \widehat{DAC}, AB=ADAB = AD. Chứng minh rằng △ABC=△ADC\triangle ABC = \triangle ADC.

\begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0);
    \coordinate (B) at (2,2);
    \coordinate (C) at (4,0);
    \coordinate (D) at (2,-2);

    \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    \draw (A) -- (C);

    \node at (A) [left] {$A$};
    \node at (B) [above] {$B$};
    \node at (C) [right] {$C$};
    \node at (D) [below] {$D$};
\end{tikzpicture}

Giải:

Xét △ABC\triangle ABC và △ADC\triangle ADC có:

  • BAC^=DAC^\widehat{BAC} = \widehat{DAC} (giả thiết)
  • AB=ADAB = AD (giả thiết)
  • ACB^=ACD^\widehat{ACB} = \widehat{ACD} (do AC là cạnh chung và △ABC,△ADC\triangle ABC, \triangle ADC có chung cạnh huyền AC và một cạnh góc vuông bằng nhau)

Suy ra △ABC=△ADC\triangle ABC = \triangle ADC (g-c-g)

Hoặc có thể giải như sau:

Xét △ABC\triangle ABC và △ADC\triangle ADC có:

  • BAC^=DAC^\widehat{BAC} = \widehat{DAC} (giả thiết)
  • AB=ADAB = AD (giả thiết)
  • ACAC cạnh chung

Suy ra △ABC=△ADC\triangle ABC = \triangle ADC (c-g-c). Từ đó ta có BCA^=DCA^\widehat{BCA} = \widehat{DCA} (hai góc tương ứng).

4. BÀI TẬP VẬN DỤNG

  1. Cho △ABC\triangle ABC có AB=ACAB = AC. Gọi MM là trung điểm của BCBC. Chứng minh rằng △ABM=△ACM\triangle ABM = \triangle ACM.

  2. Cho hình vẽ sau, biết OA=OBOA = OB, OAC^=OBD^\widehat{OAC} = \widehat{OBD}, AC=BDAC = BD. Chứng minh rằng △OAC=△OBD\triangle OAC = \triangle OBD.

    \begin{tikzpicture}
    \coordinate (O) at (0,0);
    \coordinate (A) at (-2,2);
    \coordinate (B) at (2,2);
    \coordinate (C) at (-3,0);
    \coordinate (D) at (3,0);

    \draw (O) -- (A) -- (C) -- cycle;
    \draw (O) -- (B) -- (D) -- cycle;

    \node at (O) [below] {$O$};
    \node at (A) [above left] {$A$};
    \node at (B) [above right] {$B$};
    \node at (C) [below left] {$C$};
    \node at (D) [below right] {$D$};
\end{tikzpicture}

  3. Cho hình vẽ sau, biết AB=ACAB = AC, ABD^=ACD^\widehat{ABD} = \widehat{ACD}. Chứng minh rằng BD=CDBD = CD.

    \begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,3);
    \coordinate (B) at (-2,0);
    \coordinate (C) at (2,0);
    \coordinate (D) at (0,0);

    \draw (A) -- (B) -- (D) -- cycle;
    \draw (A) -- (C) -- (D) -- cycle;

    \node at (A) [above] {$A$};
    \node at (B) [left] {$B$};
    \node at (C) [right] {$C$};
    \node at (D) [below] {$D$};
\end{tikzpicture}

Cần thêm bí kíp?

Khám phá hàng trăm thủ thuật học tập hiệu quả khác.

Xem tất cả thủ thuật