Tài liệu học tập: Đường tròn lượng giác và ứng dụng giải phương trình lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

1.1. Định nghĩa

Đường tròn lượng giác là đường tròn có các đặc điểm sau:

• Có tâm là gốc tọa độ $O(0;0)$ của mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
• Có bán kính bằng 1.
• Có chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.

1.2. Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Mỗi góc lượng giác $\alpha$ đều có một điểm biểu diễn duy nhất trên đường tròn lượng giác, ký hiệu là $M$. Điểm $M$ được xác định bằng cách:

1. Vẽ tia $Ox$ là trục hoành của mặt phẳng tọa độ.
2. Từ gốc $O$, vẽ tia $OM$ sao cho góc lượng giác tạo bởi tia $Ox$ và tia $OM$ bằng $\alpha$ (tính theo chiều dương hoặc chiều âm).

1.3. Tọa độ điểm biểu diễn

Nếu điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác và có tọa độ $M(x_M; y_M)$, thì:

• $x_M = \cos(\alpha)$
• $y_M = \sin(\alpha)$

1.4. Các góc đặc biệt trên đường tròn lượng giác

Góc lượng giác	Radian	Độ	Điểm biểu diễn	Tọa độ điểm biểu diễn
0	$0$	$0^\circ$	A(1;0)	(1;0)
$\pi/6$	$\pi/6$	$30^\circ$		$(\sqrt{3}/2; 1/2)$
$\pi/4$	$\pi/4$	$45^\circ$		$(\sqrt{2}/2; \sqrt{2}/2)$
$\pi/3$	$\pi/3$	$60^\circ$		$(1/2; \sqrt{3}/2)$
$\pi/2$	$\pi/2$	$90^\circ$	B(0;1)	(0;1)
$\pi$	$\pi$	$180^\circ$	A'(-1;0)	(-1;0)
$3\pi/2$	$3\pi/2$	$270^\circ$	B'(0;-1)	(0;-1)
$2\pi$	$2\pi$	$360^\circ$	A(1;0)	(1;0)

2. Ứng dụng đường tròn lượng giác giải phương trình lượng giác

2.1. Phương trình lượng giác cơ bản

• $\sin(x) = \sin(\alpha) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$
• $\cos(x) = \cos(\alpha) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$
• $\tan(x) = \tan(\alpha) \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
• $\cot(x) = \cot(\alpha) \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

2.2. Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

Để biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nghiệm tổng quát: Giải phương trình lượng giác để tìm nghiệm tổng quát.
2. Xác định các điểm biểu diễn: Thay các giá trị nguyên của $k$ vào nghiệm tổng quát để tìm các góc lượng giác cụ thể. Biểu diễn các góc này trên đường tròn lượng giác.
3. Kết luận: Các điểm biểu diễn này chính là nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

2.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sin(x) = \frac{1}{2}$ và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

• Bước 1: Giải phương trình

  $\sin(x) = \frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6}) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$

• Bước 2: Xác định các điểm biểu diễn

  • Với $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$:
    • $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$ (Điểm $M_1$ trên đường tròn)
  • Với $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$:
    • $k=0$: $x = \frac{5\pi}{6}$ (Điểm $M_2$ trên đường tròn)

• Bước 3: Kết luận

  Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi hai điểm $M_1$ và $M_2$ trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

• Bước 1: Giải phương trình

  $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{3\pi}{4}) \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \\ 2x = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \\ x = -\frac{3\pi}{8} + k\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$

• Bước 2: Xác định các điểm biểu diễn

  • Với $x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$:
    • $k=0$: $x = \frac{3\pi}{8}$ (Điểm $M_1$ trên đường tròn)
    • $k=1$: $x = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}$ (Điểm $M_3$ trên đường tròn)
  • Với $x = -\frac{3\pi}{8} + k\pi$:
    • $k=0$: $x = -\frac{3\pi}{8}$ (Điểm $M_2$ trên đường tròn)
    • $k=1$: $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$ (Điểm $M_4$ trên đường tròn)

• Bước 3: Kết luận

  Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi bốn điểm $M_1, M_2, M_3, M_4$ trên đường tròn lượng giác.

3. Bài tập tự luyện

1. Giải các phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:
   • a) $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   • b) $\cos(x) = -\frac{1}{2}$
   • c) $\tan(x) = 1$
   • d) $\cot(x) = -\sqrt{3}$
   • e) $\sin(2x) = 0$
   • f) $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. Tìm các nghiệm của phương trình $\sin(x) = 1$ trên khoảng $(-\pi; \pi)$.
3. Giải phương trình $\cos^2(x) = \frac{1}{4}$ và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
4. Giải phương trình $\sin(x) + \cos(x) = 0$ và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

4. Lời khuyên

• Nắm vững lý thuyết: Hiểu rõ định nghĩa, tính chất của đường tròn lượng giác, các công thức lượng giác cơ bản.
• Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập để quen với cách biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
• Sử dụng hình vẽ: Vẽ đường tròn lượng giác để hình dung các nghiệm và mối liên hệ giữa chúng.
• Kiểm tra lại nghiệm: Sau khi giải phương trình, hãy kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào phương trình gốc.

Chúc các bạn học tốt!