TÀI LIỆU HỌC TẬP: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG - ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC (LỚP 10)

I. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

1. Công thức cơ bản

• Tổng thành tích:

  • $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
  • $\cos a - \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
  • $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
  • $\sin a - \sin b = 2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$

• Trường hợp đặc biệt:

  • $\cos a + \sin a = \sqrt{2}\cos(a - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(a + \frac{\pi}{4})$
  • $\cos a - \sin a = \sqrt{2}\cos(a + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\sin(a - \frac{\pi}{4})$

2. Chứng minh (gợi ý)

Các công thức này có thể được chứng minh dựa trên công thức cộng và công thức nhân đôi. Ví dụ, để chứng minh $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$, ta đặt $x = \frac{a+b}{2}$ và $y = \frac{a-b}{2}$, suy ra $a = x+y$ và $b = x-y$. Khi đó:

$\cos a + \cos b = \cos(x+y) + \cos(x-y) = (\cos x\cos y - \sin x\sin y) + (\cos x\cos y + \sin x\sin y) = 2\cos x\cos y = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$

Các công thức khác được chứng minh tương tự.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của $\cos 75^\circ + \cos 15^\circ$.

Giải:

Áp dụng công thức tổng thành tích:

$\cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2\cos\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2} = 2\cos 45^\circ\cos 30^\circ = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: $A = \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x$

Giải:

Ghép cặp và áp dụng công thức:

$A = (\sin 7x + \sin x) + (\sin 5x + \sin 3x) = 2\sin 4x\cos 3x + 2\sin 4x\cos x = 2\sin 4x(\cos 3x + \cos x) = 2\sin 4x\cdot 2\cos 2x\cos x = 4\sin 4x\cos 2x\cos x$

II. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1. Công thức cơ bản

• Tích thành tổng:
  • $\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$
  • $\sin a\sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$
  • $\sin a\cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

2. Chứng minh (gợi ý)

Các công thức này cũng có thể được chứng minh từ công thức cộng. Ví dụ, để chứng minh $\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$, ta xét:

$\cos(a+b) + \cos(a-b) = (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + (\cos a\cos b + \sin a\sin b) = 2\cos a\cos b$

Suy ra: $\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$

Các công thức khác được chứng minh tương tự.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của $\sin 75^\circ\cos 15^\circ$.

Giải:

Áp dụng công thức tích thành tổng:

$\sin 75^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{2}[\sin(75^\circ+15^\circ) + \sin(75^\circ-15^\circ)] = \frac{1}{2}[\sin 90^\circ + \sin 60^\circ] = \frac{1}{2}[1 + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$

Ví dụ 2: Chứng minh: $\sin x\sin(60^\circ - x)\sin(60^\circ + x) = \frac{1}{4}\sin 3x$

Giải:

$\sin x\sin(60^\circ - x)\sin(60^\circ + x) = \sin x\cdot\frac{1}{2}[\cos(60^\circ - x - 60^\circ - x) - \cos(60^\circ - x + 60^\circ + x)] = \sin x\cdot\frac{1}{2}[\cos(-2x) - \cos 120^\circ] = \frac{1}{2}\sin x[\cos 2x + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2}\sin x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin x = \frac{1}{4}[2\sin x\cos 2x + \sin x] = \frac{1}{4}[\sin 3x + \sin(-x) + \sin x] = \frac{1}{4}[\sin 3x - \sin x + \sin x] = \frac{1}{4}\sin 3x$

III. ỨNG DỤNG TRONG BÀI TẬP

1. Rút gọn biểu thức lượng giác

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $B = \cos x + \cos 3x + \cos 5x$

Giải:

$B = \cos x + \cos 3x + \cos 5x = (\cos 5x + \cos x) + \cos 3x = 2\cos 3x\cos 2x + \cos 3x = \cos 3x(2\cos 2x + 1)$

2. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Ví dụ: Chứng minh: $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2} + \cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x + \cos 4x\cos 2x$

Giải:

Sử dụng công thức $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$, ta có:

$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x)$

Biến đổi tổng thành tích:

$\cos 2x + \cos 6x = 2\cos 4x\cos 2x$

Vậy: $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x + 2\cos 4x\cos 2x)$

Vế phải: $\frac{1}{2} + \cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x + \cos 4x\cos 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x + \cos 2x(1+\cos 4x)$

3. Giải phương trình lượng giác

Các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng là công cụ quan trọng để giải các phương trình lượng giác phức tạp.

Ví dụ: Giải phương trình: $\sin x + \sin 3x = \cos x + \cos 3x$

Giải:

$\sin x + \sin 3x = \cos x + \cos 3x \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x = 2\cos 2x\cos x \Leftrightarrow 2\cos x(\sin 2x - \cos 2x) = 0$

• $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$)
• $\sin 2x - \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$ ($k\in\mathbb{Z}$)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Bài tập biến đổi tổng thành tích

1. Tính: $\sin 105^\circ + \sin 15^\circ$
2. Tính: $\cos 105^\circ - \cos 15^\circ$
3. Rút gọn: $\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x$
4. Rút gọn: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x$
5. Chứng minh: $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 4\cos\frac{5x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}$

2. Bài tập biến đổi tích thành tổng

1. Tính: $\cos 75^\circ\cos 15^\circ$
2. Tính: $\sin 75^\circ\sin 15^\circ$
3. Rút gọn: $\sin x\cos 3x$
4. Chứng minh: $\cos x\cos 2x\cos 3x = \frac{1}{4}(\cos 4x + \cos 2x + \cos 2x + 1)$
5. Chứng minh: $4\cos x\cos(\frac{\pi}{3} - x)\cos(\frac{\pi}{3} + x) = \cos 3x$

3. Bài tập tổng hợp

1. Chứng minh: $\sin x + \sin(x + \frac{2\pi}{3}) + \sin(x + \frac{4\pi}{3}) = 0$
2. Chứng minh: $\cos x + \cos(x + \frac{2\pi}{3}) + \cos(x + \frac{4\pi}{3}) = 0$
3. Chứng minh: $\sin^2 x + \sin^2(x + \frac{2\pi}{3}) + \sin^2(x + \frac{4\pi}{3}) = \frac{3}{2}$
4. Chứng minh: $\cos^2 x + \cos^2(x + \frac{2\pi}{3}) + \cos^2(x + \frac{4\pi}{3}) = \frac{3}{2}$
5. Giải phương trình: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$
6. Giải phương trình: $\cos x + \cos 3x = \sin x + \sin 3x$
7. Giải phương trình: $\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x$
8. Giải phương trình: $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$

Tài liệu này cung cấp kiến thức cơ bản và các ví dụ minh họa về biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng trong lượng giác. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các công thức và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong giải toán. Chúc các bạn học tốt!