Đặt ẩn phụ lượng giác

TÀI LIỆU HỌC TẬP:

ẨN PHỤ LƯỢNG GIÁC - CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH QUEN THUỘC

Đối tượng: Học sinh lớp 11

Mục tiêu: Nắm vững phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình lượng giác, nhận diện các dạng toán thường gặp và cách chuyển về phương trình đại số quen thuộc.

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Mục đích của phương pháp:

Đơn giản hóa phương trình lượng giác phức tạp.
Chuyển phương trình lượng giác về phương trình đại số quen thuộc (bậc nhất, bậc hai, bậc cao,...) để giải.

2. Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định biểu thức lượng giác lặp lại trong phương trình.
Bước 2: Đặt ẩn phụ t bằng biểu thức lượng giác đã xác định.
Bước 3: Tìm điều kiện cho ẩn phụ t (ví dụ: $-1 \le \sin x \le 1$ , $-1 \le \cos x \le 1$ ).
Bước 4: Biến đổi phương trình lượng giác ban đầu về phương trình đại số theo ẩn t.
Bước 5: Giải phương trình đại số theo ẩn t.
Bước 6: Đối chiếu nghiệm t với điều kiện để chọn nghiệm hợp lệ.
Bước 7: Thay giá trị t vào biểu thức đã đặt để giải phương trình lượng giác cơ bản theo biến ban đầu.
Bước 8: Kết luận nghiệm.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ VÍ DỤ

1. Đặt ẩn phụ là một hàm lượng giác:

Dạng 1.1: Phương trình có dạng $F(\sin x) = 0$ $F (sin x) = 0$ hoặc $F(\cos x) = 0$ $F (cos x) = 0$ .
- Đặt $t = \sin x$ (điều kiện: $-1 \le t \le 1$ ) hoặc $t = \cos x$ (điều kiện: $-1 \le t \le 1$ ).
Dạng 1.2: Phương trình có dạng $F(\tan x) = 0$ $F (tan x) = 0$ .
- Đặt $t = \tan x$ (không có điều kiện).
Dạng 1.3: Phương trình có dạng $F(\cot x) = 0$ $F (cot x) = 0$ .
- Đặt $t = \cot x$ (không có điều kiện).

Ví dụ 1: Giải phương trình: $2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$ .

Bước 1: Phương trình có dạng $F(\cos x) = 0$ .
Bước 2: Đặt $t = \cos x$ .
Bước 3: Điều kiện: $-1 \le t \le 1$ .
Bước 4: Phương trình trở thành: $2t^2 + 3t - 2 = 0$ .
Bước 5: Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$ . Suy ra $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn) và $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ (loại).
Bước 6: $t = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện.
Bước 7: Giải $\cos x = \frac{1}{2}$ . Ta có: $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
Bước 8: Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

Ví dụ 2: Giải phương trình: $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$ .

Bước 1: Phương trình có dạng $F(\sin x) = 0$ .
Bước 2: Đặt $t = \sin x$ .
Bước 3: Điều kiện: $-1 \le t \le 1$ .
Bước 4: Phương trình trở thành: $2t^2 - 5t + 2 = 0$ .
Bước 5: Giải phương trình bậc hai: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$ . Suy ra $t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$ (loại) và $t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Bước 6: $t = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện.
Bước 7: Giải $\sin x = \frac{1}{2}$ . Ta có: $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
Bước 8: Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

2. Đặt ẩn phụ là biểu thức lượng giác:

Dạng 2.1: Phương trình có chứa $\sin x \pm \cos x$ $sin x \pm cos x$ và $\sin x \cos x$ $sin x cos x$ .
- Đặt $t = \sin x \pm \cos x$ . Khi đó, $t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x \pm 2\sin x \cos x = 1 \pm 2\sin x \cos x$ . Suy ra $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{ \pm 2}$ .
- Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$ (do $(\sin x \pm \cos x)^2 \le (\sin^2 x + \cos^2 x)(1^2 + 1^2) = 2$ ).
Dạng 2.2: Phương trình có chứa $\tan x \pm \cot x$ $tan x \pm cot x$ và $\tan^2 x + \cot^2 x$ $tan^{2} x + cot^{2} x$ .
- Đặt $t = \tan x \pm \cot x$ . Khi đó, $t^2 = \tan^2 x + \cot^2 x \pm 2\tan x \cot x = \tan^2 x + \cot^2 x \pm 2$ . Suy ra $\tan^2 x + \cot^2 x = t^2 \mp 2$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1$ .

Bước 1: Phương trình có chứa $\sin x + \cos x$ và $\sin x \cos x$ .
Bước 2: Đặt $t = \sin x + \cos x$ .
Bước 3: Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$ . Ta có: $t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$ , suy ra $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$ .
Bước 4: Phương trình trở thành: $t + \frac{t^2 - 1}{2} = 1$ .
Bước 5: Quy đồng và rút gọn: $2t + t^2 - 1 = 2 \Leftrightarrow t^2 + 2t - 3 = 0$ . Giải phương trình bậc hai, ta được $t_1 = 1$ (thỏa mãn) và $t_2 = -3$ (loại).
Bước 6: $t = 1$ thỏa mãn điều kiện.
Bước 7: Giải $\sin x + \cos x = 1$ $sin x + cos x = 1$ .
- Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$ : $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
- $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin x + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
- $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
- $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
- $x = k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
Bước 8: Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

Ví dụ 4: Giải phương trình: $\tan x + \cot x = 2$ .

Bước 1: Phương trình có chứa $\tan x + \cot x$ .
Bước 2: Đặt $t = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$ .
Bước 3: Điều kiện: $|t| \ge 2$ .
Bước 4: Phương trình trở thành: $t = 2$ .
Bước 5: $t = 2$ thỏa mãn điều kiện.
Bước 6: Giải $\tan x + \cot x = 2$ $tan x + cot x = 2$ .
- $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2$ .
- $\frac{1}{\sin x \cos x} = 2$ .
- $2\sin x \cos x = 1$ .
- $\sin 2x = 1$ .
- $2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ .
- $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
Bước 7: Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

3. Đặt ẩn phụ kết hợp với công thức lượng giác:

Dạng 3.1: Phương trình có thể biến đổi để xuất hiện các biểu thức có liên quan đến nhau thông qua công thức lượng giác.

Ví dụ 5: Giải phương trình: $\cos 2x - 3\sin x = 2$ .

Bước 1: Sử dụng công thức $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ , phương trình trở thành: $1 - 2\sin^2 x - 3\sin x = 2$ .
Bước 2: Đặt $t = \sin x$ .
Bước 3: Điều kiện: $-1 \le t \le 1$ .
Bước 4: Phương trình trở thành: $1 - 2t^2 - 3t = 2 \Leftrightarrow 2t^2 + 3t + 1 = 0$ .
Bước 5: Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$ . Suy ra $t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$ (thỏa mãn) và $t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$ (thỏa mãn).
Bước 6: $t_1 = -\frac{1}{2}$ và $t_2 = -1$ thỏa mãn điều kiện.
Bước 7:
- Giải $\sin x = -\frac{1}{2}$ . Ta có: $x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
- Giải $\sin x = -1$ . Ta có: $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .
Bước 8: Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

4. Các lưu ý quan trọng:

Luôn đặt điều kiện cho ẩn phụ.
Khi giải phương trình sau khi đặt ẩn phụ, cần kiểm tra lại nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ không.
Nắm vững các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi phương trình về dạng thích hợp.
Luyện tập nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng nhận diện và giải các dạng toán khác nhau.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các phương trình sau:

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$
$\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0$
$2\sin x + \cos x = 1$
$\sin x + \cos x = \sin 2x$
$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}$
$\cos 2x + 3\sin x = 2$
$\sin^3 x + \cos^3 x = 1$
$\tan x + \cot x = 4$
$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 2$

IV. KẾT LUẬN

Phương pháp đặt ẩn phụ là một công cụ hữu hiệu trong giải phương trình lượng giác. Việc nắm vững lý thuyết, nhận diện các dạng toán và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp. Chúc các em học tốt!