Công thức góc nhân đôi, nhân ba

CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI, NHÂN BA TRONG LƯỢNG GIÁC

Tài liệu dành cho học sinh lớp 11

1. Công thức góc nhân đôi

1.1. Sin của góc nhân đôi

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Chứng minh:

Ta có công thức cộng: $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

Đặt $a = b = x$, ta được:

$\sin(x+x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

1.2. Cos của góc nhân đôi

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x$

Chứng minh:

Ta có công thức cộng: $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

Đặt $a = b = x$, ta được:

$\cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

• Sử dụng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, ta có:
  • $\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^2 x - 1$
  • $\cos 2x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$

1.3. Tan của góc nhân đôi

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \quad (\tan x \neq \pm 1)$

Chứng minh:

Ta có công thức cộng: $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$

Đặt $a = b = x$, ta được:

$\tan(x+x) = \frac{\tan x + \tan x}{1 - \tan x \tan x}$

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

Điều kiện: $\cos 2x \neq 0$ và $\cos x \neq 0$, suy ra $\tan x \neq \pm 1$

1.4. Cot của góc nhân đôi

$\cot 2x = \frac{\cot^2 x - 1}{2 \cot x}$

Chứng minh:

$\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2 \sin x \cos x}$

Chia cả tử và mẫu cho $\sin^2 x$, ta được:

$\cot 2x = \frac{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}}{2 \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x}} = \frac{\cot^2 x - 1}{2 \cot x}$

Điều kiện: $\sin 2x \neq 0$ và $\sin x \neq 0$ suy ra $\cot x \neq 0$.

2. Công thức góc nhân ba

2.1. Sin của góc nhân ba

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

Chứng minh:

$\sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$

$= (2 \sin x \cos x) \cos x + (1 - 2 \sin^2 x) \sin x$

$= 2 \sin x \cos^2 x + \sin x - 2 \sin^3 x$

$= 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + \sin x - 2 \sin^3 x$

$= 2 \sin x - 2 \sin^3 x + \sin x - 2 \sin^3 x$

$= 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

2.2. Cos của góc nhân ba

$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$

Chứng minh:

$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

$= (2 \cos^2 x - 1) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x$

$= 2 \cos^3 x - \cos x - 2 \sin^2 x \cos x$

$= 2 \cos^3 x - \cos x - 2 (1 - \cos^2 x) \cos x$

$= 2 \cos^3 x - \cos x - 2 \cos x + 2 \cos^3 x$

$= 4 \cos^3 x - 3 \cos x$

2.3. Tan của góc nhân ba

$\tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}$

Chứng minh:

$\tan 3x = \tan(2x + x) = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x}$

Thay $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$, ta được:

$\tan 3x = \frac{\frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x}{1 - \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \tan x} = \frac{2 \tan x + \tan x(1 - \tan^2 x)}{1 - \tan^2 x - 2 \tan^2 x}$

$\tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}$

Điều kiện: $\cos 3x \neq 0$ và $\cos x \neq 0$, suy ra $1-3\tan^2x\neq0$.

3. Ứng dụng

Các công thức này được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán lượng giác, đặc biệt là các bài toán liên quan đến phương trình lượng giác và chứng minh đẳng thức lượng giác.

Ví dụ:

1. Giải phương trình: $\sin 2x = \sin x$

   • $2 \sin x \cos x = \sin x$
   • $\sin x (2 \cos x - 1) = 0$
   • $\sin x = 0$ hoặc $2 \cos x - 1 = 0$

2. Chứng minh: $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ (đã chứng minh ở trên)

4. Bài tập tự luyện

1. Tính $\sin 2x$ và $\cos 2x$ nếu $\sin x = \frac{3}{5}$ và $0 < x < \frac{\pi}{2}$.
2. Chứng minh: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
3. Giải phương trình: $\cos 2x + 3 \sin x = 2$
4. Tính $\sin 3x$ nếu $\sin x = \frac{1}{3}$.
5. Chứng minh: $\tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}$ (đã chứng minh ở trên)

Chúc các bạn học tốt!