Tài liệu ôn tập chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

I. Lý thuyết chung

1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$ . Đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0$ , ký hiệu $f'(x_0)$ , được định nghĩa bởi:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.

Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0; f(x_0))$ . Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là:

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

Ý nghĩa vật lý: Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$ , trong đó $s(t)$ là phương trình chuyển động.

2. Các quy tắc tính đạo hàm

$(u + v)' = u' + v'$
$(u - v)' = u' - v'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (với $v \neq 0$ )
$(cu)' = cu'$ (với $c$ là hằng số)
Đạo hàm của hàm hợp: $[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$

3. Bảng đạo hàm cơ bản

Hàm số	Đạo hàm	Điều kiện
$c$ (hằng số)	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$x \neq 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\cot x$	$-\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$	$x \neq k\pi$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$a > 0, a \neq 1, x > 0$

II. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ .

Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ .
Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ .
Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f(x)$ là hàm hằng trên $(a; b)$ .

Định lý 2: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ .

Nếu $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[a; b]$ .
Nếu $f'(x) \leq 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[a; b]$ .

Quy tắc xét tính đơn điệu:

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm $f'(x)$ .
Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
Lập bảng biến thiên.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số.

2. Cực trị của hàm số

Định nghĩa:

Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $y = f(x)$ nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$ .
Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$ .
$f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số. Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

Định lý 1: (Điều kiện cần) Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ và đạt cực trị tại $x_0$ thì $f'(x_0) = 0$ .

Định lý 2: (Điều kiện đủ)

Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Quy tắc tìm cực trị:

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm $f'(x)$ .
Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
Lập bảng biến thiên.
Kết luận về cực trị của hàm số.

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa:

$M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x) \leq M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$ .
$m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x) \geq m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$ .

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Tìm các điểm $x_i \in [a; b]$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
Tính $f(a)$ , $f(b)$ và các giá trị $f(x_i)$ .
So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

\begin{aligned} \max_{[a;b]} f(x) &= \max\{f(a), f(b), f(x_i)\} \\ \min_{[a;b]} f(x) &= \min\{f(a), f(b), f(x_i)\} \end{aligned}

4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các giới hạn sau đúng:

\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty

Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các giới hạn sau đúng:

\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0

Tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b$ ( $a \neq 0$ ) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0

Trong đó:

a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{và} \quad b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax]

5. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2:

Tìm đạo hàm $f'(x)$ .
Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4:

Tìm các đường tiệm cận (nếu có).
Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
Tìm thêm một số điểm đặc biệt (nếu cần).

Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số.

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Chứng minh tính đơn điệu của hàm số.
Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.

2. Bài tập về cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số.
Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

3. Bài tập về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

4. Bài tập về đường tiệm cận

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bài toán liên quan đến tương giao của đồ thị hàm số.

5. Bài tập về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức.
Bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị hàm số.

IV. Các ví dụ minh họa

(Các ví dụ cụ thể sẽ được bổ sung trong phiên bản đầy đủ)

V. Bài tập tự luyện

(Bài tập tự luyện sẽ được bổ sung trong phiên bản đầy đủ)

Chúc các bạn học tốt!

Đạo hàm khảo sát hàm số