Tài liệu học tập: Sơ đồ, hình vẽ - Minh họa bài toán (Toán 7)

1. Tại sao cần sử dụng sơ đồ, hình vẽ?

Trong giải toán, việc sử dụng sơ đồ, hình vẽ để minh họa bài toán là một kỹ năng vô cùng quan trọng. Nó mang lại nhiều lợi ích thiết thực:

Trực quan hóa bài toán: Chuyển đổi các dữ kiện, mối quan hệ trong bài toán từ dạng chữ sang dạng hình ảnh, giúp chúng ta dễ dàng hình dung và nắm bắt được bản chất của vấn đề.
Phân tích bài toán: Sơ đồ, hình vẽ giúp chúng ta phân tích các yếu tố của bài toán, xác định các mối liên hệ giữa chúng và tìm ra hướng giải quyết.
Tìm ra lời giải: Nhiều bài toán trở nên đơn giản hơn khi được biểu diễn bằng sơ đồ, hình vẽ. Các mối quan hệ ẩn có thể được phát hiện, giúp chúng ta tìm ra lời giải một cách nhanh chóng và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả: Sơ đồ, hình vẽ có thể được sử dụng để kiểm tra tính hợp lý của kết quả, đảm bảo không có sai sót.

Ứng dụng: Thường được sử dụng để biểu diễn các đại lượng có quan hệ hơn kém, tỷ lệ, phân số, ...
Cách vẽ: Vẽ các đoạn thẳng có độ dài tương ứng với giá trị của các đại lượng.
Ví dụ:
- Bài toán: An có số bi nhiều hơn Bình 15 viên. Biết rằng số bi của Bình bằng $\frac{2}{5}$ số bi của An. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
- Sơ đồ:
```
An:     |-----|-----|-----|-----|-----|
Bình:   |-----|-----|
15 viên:  |-----|-----|-----|
```
- Phân tích: Từ sơ đồ, ta thấy 3 phần tương ứng với 15 viên bi. Từ đó, ta có thể tính được giá trị của 1 phần và số bi của mỗi bạn.

Ứng dụng: Biểu diễn các tập hợp, quan hệ giữa các tập hợp (giao, hợp, hiệu).
Cách vẽ: Vẽ các hình tròn (hoặc các hình khác) biểu diễn các tập hợp. Phần giao nhau giữa các hình biểu diễn các phần tử chung của các tập hợp.
Ví dụ:
- Bài toán: Lớp 7A có 40 học sinh. Trong đó, có 25 học sinh thích bóng đá, 20 học sinh thích bóng chuyền và 10 học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn nào?
- Sơ đồ:
```
         __________
        /          \
       |  Bóng đá  |
       \__________/
          /    \
         /      \
        /________\
       |  15   10   |
       \________/
          \      /
           \    /
        __________
       /          \
      | Bóng chuyền |
      \__________/
           10
```
- Phân tích: Từ sơ đồ, ta thấy số học sinh thích ít nhất một môn thể thao là 15 + 10 + 10 = 35 học sinh. Vậy số học sinh không thích môn nào là 40 - 35 = 5 học sinh.

Ứng dụng: Biểu diễn các hình hình học, các yếu tố của hình (điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, góc, ...), các quan hệ giữa chúng.
Cách vẽ: Vẽ chính xác các hình hình học theo yêu cầu của bài toán, chú ý đến các kích thước, góc, ...
Ví dụ:
- Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
- Hình vẽ:
```
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=below left:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate [label=above:$A$] (A) at (3,3);
\coordinate [label=below right:$C$] (C) at (6,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\coordinate [label=below:$D$] (D) at (3,0);
\draw (A) -- (D);
\draw[dashed] (A) -- (C);
\draw (3.2,0.2) arc (0:60:0.2);
\draw (3.2,2.8) arc (180:120:0.2);
\node at (3.5,0.5) {$=$};
\node at (2.5,2.5) {$=$};
\node at (3,-0.3) {$90^\circ$};
\end{tikzpicture}
```
- Phân tích: Từ hình vẽ, ta có thể thấy hai tam giác ABD và ACD có AB = AC, $\angle BAD = \angle CAD$ (vì AD là tia phân giác), AD là cạnh chung. Do đó, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Suy ra $\angle ADB = \angle ADC$ . Mà $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ (hai góc kề bù), nên $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ . Vậy AD vuông góc với BC.

Ứng dụng: Sắp xếp, hệ thống hóa dữ liệu, tìm ra quy luật.
Cách sử dụng: Tạo bảng với các hàng, cột tương ứng với các yếu tố cần quan tâm. Điền dữ liệu vào bảng một cách chính xác, khoa học.
Ví dụ:
- Bài toán: Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 12 chia hết cho x.
- Bảng:
  
  Ước của 12 1 2 3 4 6 12
- Phân tích: Điền tất cả các ước của 12 vào bảng. Các số tự nhiên x cần tìm là các ước của 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Đọc kỹ đề bài: Xác định các dữ kiện đã cho, các yêu cầu của bài toán.
Lựa chọn sơ đồ, hình vẽ phù hợp: Tùy thuộc vào dạng bài toán và các mối quan hệ giữa các yếu tố, lựa chọn sơ đồ, hình vẽ thích hợp (sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ Venn, hình vẽ hình học, bảng biểu, ...).
Vẽ sơ đồ, hình vẽ: Vẽ sơ đồ, hình vẽ một cách chính xác, đầy đủ các dữ kiện đã cho.
Phân tích sơ đồ, hình vẽ: Quan sát, phân tích sơ đồ, hình vẽ để tìm ra các mối quan hệ, các yếu tố ẩn.
Tìm ra lời giải: Sử dụng các thông tin từ sơ đồ, hình vẽ để xây dựng lời giải.
Kiểm tra lại kết quả: Sử dụng sơ đồ, hình vẽ để kiểm tra tính hợp lý của kết quả.

Để thành thạo kỹ năng sử dụng sơ đồ, hình vẽ trong giải toán, các em cần luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau.

Bài tập ví dụ:

Một cửa hàng bán được 120 kg gạo trong ngày đầu tiên. Ngày thứ hai bán được số gạo bằng $\frac{3}{4}$ số gạo bán được trong ngày đầu tiên. Ngày thứ ba bán được nhiều hơn ngày thứ hai 20 kg gạo. Hỏi cả ba ngày cửa hàng bán được bao nhiêu kg gạo? (Gợi ý: Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng)
Một lớp học có 35 học sinh. Trong đó, có 20 học sinh thích chơi bóng đá, 15 học sinh thích chơi bóng rổ và 5 học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn thể thao nào? (Gợi ý: Sử dụng sơ đồ Venn)
Cho tam giác ABC có $\angle A = 90^\circ$ , AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC. (Gợi ý: Sử dụng hình vẽ hình học và định lý Pythagoras)
Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số là bội của 15. (Gợi ý: Sử dụng bảng biểu)

Chúc các em học tốt!