SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC - BIỂU DIỄN HÌNH HỌC BẰNG SỐ PHỨC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Biểu diễn hình học của số phức

• Mỗi số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bởi một điểm $M(a; b)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Mặt phẳng $Oxy$ trong trường hợp này được gọi là mặt phẳng phức.
• Điểm $M$ được gọi là điểm biểu diễn số phức $z$, và ta viết $M(z)$.
• Ngược lại, mỗi điểm $M(a; b)$ trên mặt phẳng phức biểu diễn một số phức $z = a + bi$.
• Số phức $z = a + 0i = a$ được biểu diễn bởi điểm $M(a; 0)$ trên trục hoành. Trục hoành được gọi là trục thực.
• Số phức $z = 0 + bi = bi$ được biểu diễn bởi điểm $N(0; b)$ trên trục tung. Trục tung được gọi là trục ảo.
• Số phức $z = 0$ được biểu diễn bởi gốc tọa độ $O$.

2. Biểu diễn số phức qua vectơ

• Số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{OM}$ với $M(a; b)$.
• Ngược lại, vectơ $\overrightarrow{OM}$ với $M(a; b)$ biểu diễn số phức $z = a + bi$.
• Vậy, có một sự tương ứng một-một giữa tập hợp các số phức và tập hợp các vectơ trên mặt phẳng.

3. Module và argument của số phức

• Module: Module của số phức $z = a + bi$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$, ký hiệu là $|z|$, và được tính bởi công thức:

  $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

• Argument: Argument của số phức $z \ne 0$ là góc $\varphi$ giữa vectơ $\overrightarrow{OM}$ và trục thực $Ox$, ký hiệu là $\arg(z)$. Argument được xác định duy nhất modulo $2\pi$.

  • $\arg(z) = \theta + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ và $\theta$ là một giá trị cụ thể của argument.
  • Giá trị $\theta$ trong khoảng $(-\pi; \pi]$ được gọi là argument chính của $z$.
  • Số phức $z = 0$ không có argument.

4. Phép toán trên số phức và biểu diễn hình học

• Phép cộng: Nếu $z_1 = a_1 + b_1i$ và $z_2 = a_2 + b_2i$, thì $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$.

  • Nếu $M_1(z_1)$ và $M_2(z_2)$, thì điểm $M$ biểu diễn $z_1 + z_2$ là điểm cuối của vectơ $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM_1} + \overrightarrow{OM_2}$.
  • Vậy, phép cộng hai số phức tương ứng với phép cộng hai vectơ.

• Phép trừ: Nếu $z_1 = a_1 + b_1i$ và $z_2 = a_2 + b_2i$, thì $z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

  • Nếu $M_1(z_1)$ và $M_2(z_2)$, thì điểm $M$ biểu diễn $z_1 - z_2$ là điểm cuối của vectơ $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM_1} - \overrightarrow{OM_2}$.
  • Đặc biệt, $z_1 - z_2$ được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{M_2M_1}$.

• Phép nhân: Nếu $z_1 = a_1 + b_1i$ và $z_2 = a_2 + b_2i$, thì $z_1z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$.

  • Nếu $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ và $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$, thì: $z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)]$
  • Vậy, $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$ và $\arg(z_1z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$.

• Phép chia: Nếu $z_2 \ne 0$, thì $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}$.

  • Nếu $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ và $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$, thì: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)]$
  • Vậy, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ và $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức

a) Đường thẳng

• Dạng 1: $|z - z_1| = |z - z_2|$

  • Tập hợp các điểm $M(z)$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, với $A(z_1)$ và $B(z_2)$.

• Dạng 2: $a\overline{z} + \overline{a}z + b = 0$, với $a \in \mathbb{C}, a \ne 0$ và $b \in \mathbb{R}$.

  • Đây là phương trình đường thẳng.
  • Đặt $z = x + yi$, $a = a_1 + a_2i$, ta thu được phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ $Oxy$.

• Dạng 3: $z = z_0 + tv$, với $t \in \mathbb{R}$ và $v \in \mathbb{C}$.

  • Đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M_0(z_0)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ biểu diễn số phức $v$.

b) Đường tròn

• Dạng 1: $|z - z_0| = R$

  • Tập hợp các điểm $M(z)$ là đường tròn tâm $I(z_0)$, bán kính $R$.

• Dạng 2: $|z - z_1| = k|z - z_2|$, với $k > 0$ và $k \ne 1$.

  • Tập hợp các điểm $M(z)$ là đường tròn Apollonius của hai điểm $A(z_1)$ và $B(z_2)$.

• Dạng 3: $z\overline{z} + a\overline{z} + \overline{a}z + b = 0$, với $a \in \mathbb{C}$ và $b \in \mathbb{R}$ sao cho $|a|^2 > b$.

  • Đây là phương trình đường tròn tâm $I(-a)$, bán kính $R = \sqrt{|a|^2 - b}$.

c) Elip, Hyperbol, Parabol

• Các dạng này ít gặp hơn, nhưng ta có thể sử dụng định nghĩa của các đường conic để xác định tập hợp điểm.

2. Bài toán liên quan đến module và argument

• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $|z|$ hoặc $|z - z_0|$:

  • Sử dụng bất đẳng thức tam giác: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ và $|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2||$.
  • Sử dụng biểu diễn hình học để đưa về bài toán hình học quen thuộc.

• Bài toán liên quan đến argument:

  • Sử dụng tính chất của argument: $\arg(z_1z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ và $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$.
  • Sử dụng biểu diễn hình học để xác định góc.

3. Ứng dụng vào bài toán hình học

• Chứng minh các tính chất hình học:

  • Sử dụng số phức để biểu diễn điểm, vectơ.
  • Sử dụng phép toán trên số phức để biểu diễn các phép biến hình (tịnh tiến, quay, vị tự).
  • Sử dụng module và argument để tính độ dài đoạn thẳng, góc.

• Tìm ảnh của một điểm qua phép biến hình:

  • Sử dụng biểu thức số phức của phép biến hình.

III. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z - 1 + 2i| = 2$.

Lời giải:

Đặt $z = x + yi$, với $x, y \in \mathbb{R}$. Ta có:

$|z - 1 + 2i| = |(x - 1) + (y + 2)i| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2}$

Theo đề bài, $|z - 1 + 2i| = 2$, suy ra:

$\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2} = 2$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

Đây là phương trình đường tròn tâm $I(1; -2)$, bán kính $R = 2$.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(1; -2)$, bán kính $R = 2$.

Ví dụ 2

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z - 2i| = |z + 2|$.

Lời giải:

Đặt $z = x + yi$, với $x, y \in \mathbb{R}$. Ta có:

$|z - 2i| = |x + (y - 2)i| = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2}$

$|z + 2| = |(x + 2) + yi| = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$

Theo đề bài, $|z - 2i| = |z + 2|$, suy ra:

$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$

$x^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2 + y^2$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 4x + 4 + y^2$

$-4y = 4x$

$y = -x$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $y = -x$.

Ví dụ 3

Cho hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $|z_1| = |z_2| = 1$ và $z_1 \ne z_2$. Chứng minh rằng $\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2}$ là số thuần ảo.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} = \frac{(z_1 + z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})}{(z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})} = \frac{z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} - z_2\overline{z_2}}{|z_1|^2 - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1} + |z_2|^2}$

Vì $|z_1| = |z_2| = 1$, nên $z_1\overline{z_1} = |z_1|^2 = 1$ và $z_2\overline{z_2} = |z_2|^2 = 1$. Do đó:

$\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} = \frac{1 - z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} - 1}{1 - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1} + 1} = \frac{z_2\overline{z_1} - z_1\overline{z_2}}{2 - (z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1})}$

Gọi $w = \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2}$. Ta cần chứng minh $w$ là số thuần ảo, tức là $\overline{w} = -w$.

$\overline{w} = \frac{\overline{z_2\overline{z_1} - z_1\overline{z_2}}}{\overline{2 - (z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1})}} = \frac{\overline{z_2}z_1 - \overline{z_1}z_2}{2 - (\overline{z_1}\overline{\overline{z_2}} + \overline{z_2}\overline{\overline{z_1}})} = \frac{\overline{z_2}z_1 - \overline{z_1}z_2}{2 - (\overline{z_1}z_2 + \overline{z_2}z_1)}$

$= \frac{- (z_2\overline{z_1} - z_1\overline{z_2})}{2 - (z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1})} = -w$

Vậy $\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2}$ là số thuần ảo.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z - 1 + i| = |z + 1 - 2i|$.
2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 6$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$ biết $|z - 1 - i| = 1$.
4. Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z - 1| = 1$. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (1 + i)z$.
5. Chứng minh rằng ba điểm $A(z_1)$, $B(z_2)$, $C(z_3)$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ là một số thực.

V. KẾT LUẬN

Việc biểu diễn hình học số phức là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán về số phức và hình học. Bằng cách chuyển đổi bài toán từ đại số sang hình học và ngược lại, ta có thể tìm ra lời giải một cách dễ dàng hơn. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để làm tốt các bài toán liên quan đến số phức và hình học.