Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Tài liệu học tập: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

1. Giới thiệu

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn được gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky (hoặc Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz), là một trong những bất đẳng thức quan trọng và mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số và giải tích. Nó có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác, giải quyết các bài toán cực trị và đánh giá.

2. Phát biểu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

2.1. Dạng cơ bản

Cho hai bộ số thực $(a, b)$ và $(x, y)$. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau:

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$ (quy ước $x, y \ne 0$).

2.2. Dạng tổng quát

Cho hai dãy số thực $(a_1, a_2, ..., a_n)$ và $(b_1, b_2, ..., b_n)$. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau:

$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$ (quy ước $b_i \ne 0$ với mọi $i$).

3. Chứng minh

3.1. Chứng minh dạng cơ bản

Ta xét hiệu:

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - (ax + by)^2 = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 - (a^2x^2 + 2axby + b^2y^2)$ $= a^2y^2 - 2axby + b^2x^2 = (ay - bx)^2 \ge 0$

Vậy, $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ay - bx = 0$, hay $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$.

3.2. Chứng minh dạng tổng quát

Ta xét biểu thức sau:

$P = (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$ $Q = (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

Ta cần chứng minh $Q \ge P$. Xét tam thức bậc hai sau với biến $t$:

$f(t) = (a_1t - b_1)^2 + (a_2t - b_2)^2 + ... + (a_nt - b_n)^2$ $= (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)t^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)t + (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

Ta thấy $f(t) \ge 0$ với mọi $t$ vì là tổng các bình phương. Vì vậy, biệt thức $\Delta$ của tam thức bậc hai phải nhỏ hơn hoặc bằng 0.

$\Delta' = (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 - (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \le 0$

Suy ra:

$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $f(t) = 0$ có nghiệm, tức là tồn tại $t_0$ sao cho $a_it_0 = b_i$ với mọi $i$, hay $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$.

4. Các dạng thường gặp và ứng dụng

4.1. Dạng phân thức

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có một dạng đặc biệt hữu ích, thường được gọi là dạng phân thức:

Cho các số thực dương $a_1, a_2, ..., a_n$ và $b_1, b_2, ..., b_n$. Khi đó:

$\dfrac{a_1^2}{b_1} + \dfrac{a_2^2}{b_2} + ... + \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2}{b_1 + b_2 + ... + b_n}$

Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai bộ số $( \dfrac{a_1}{\sqrt{b_1}}, \dfrac{a_2}{\sqrt{b_2}}, ..., \dfrac{a_n}{\sqrt{b_n}} )$ và $( \sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, ..., \sqrt{b_n} )$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$.

4.2. Ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức, đặc biệt khi biểu thức có dạng tổng các bình phương hoặc tổng các phân thức.

5. Ví dụ minh họa

5.1. Ví dụ 1

Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$, ta có:

$(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a + b + c)^2$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai bộ số $(a, b, c)$ và $(1, 1, 1)$, ta có:

$(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a.1 + b.1 + c.1)^2$ $(a^2 + b^2 + c^2)(3) \ge (a + b + c)^2$

Vậy, bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{1} = \dfrac{c}{1}$, hay $a = b = c$.

5.2. Ví dụ 2

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x}$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có:

$P = \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} \ge \dfrac{(x + y + z)^2}{y + z + x} = \dfrac{1^2}{1} = 1$

Vậy, giá trị nhỏ nhất của $P$ là 1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{x}$, hay $x = y = z = \dfrac{1}{3}$.

6. Bài tập tự luyện

1. Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b$, ta có: $(a^2 + 1)(b^2 + 1) \ge (ab + 1)^2$.

2. Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = x^2 + y^2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$

3. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2}{a + b} + \dfrac{b^2}{b + c} + \dfrac{c^2}{c + a} \ge \dfrac{1}{2}$

4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \sqrt{x(1-y)} + \sqrt{y(1-x)}$ với $0 \le x, y \le 1$.

5. Chứng minh bất đẳng thức sau: $\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{x^2 + y^2} \ge \sqrt{(a+x)^2 + (b+y)^2}$

7. Kết luận

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải toán và chứng minh các bất đẳng thức. Việc nắm vững bất đẳng thức này và các dạng biến đổi của nó sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình học tập và giải toán. Chúc các bạn học tốt!