TÀI LIỆU HỌC TẬP: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

CHUYÊN ĐỀ: DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀ ỨNG DỤNG

ĐỐI TƯỢNG: HỌC SINH LỚP 7

---

1. ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Tỉ lệ thức

Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, với $b \neq 0$ và $d \neq 0$.

Tính chất cơ bản:

• Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $ad = bc$ (Tích chéo).
• Tính chất 2: Nếu $ad = bc$ và $a, b, c, d \neq 0$ thì ta có các tỉ lệ thức sau:
  • $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
  • $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
  • $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
  • $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

1.2. Dãy tỉ số bằng nhau

Định nghĩa: Dãy tỉ số bằng nhau là một dãy các tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = ...$

Tính chất cơ bản:

• Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, ta suy ra: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (đổi trung tỉ) và $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ (đổi ngoại tỉ).

2. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

2.1. Tính chất cơ bản

Cho dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Khi đó, ta có tính chất quan trọng sau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

(Với điều kiện $b \neq 0$, $d \neq 0$ và $b + d \neq 0$, $b - d \neq 0$)

Mở rộng: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = ...$

Khi đó:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e + ...}{b + d + f + ...} = \frac{a - c}{b - d} = \frac{a - e}{b - f} = ...$

(Với điều kiện các mẫu số khác 0 và các tổng ở mẫu khác 0)

2.2. Chứng minh tính chất

Xét $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$. Khi đó:

• $a = bk$
• $c = dk$

Xét tỉ số $\frac{a + c}{b + d}$:

$\frac{a + c}{b + d} = \frac{bk + dk}{b + d} = \frac{k(b + d)}{b + d} = k$

Do đó:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = k$

Tương tự với $\frac{a - c}{b - d}$.

3. ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, đặc biệt là các bài toán tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

3.1. Dạng bài toán 1: Tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số

Phương pháp giải:

1. Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$.
2. Viết tỉ lệ thức giữa $x$ và $y$ theo giả thiết.
3. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để đưa về dạng $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{x \pm y}{a \pm b}$.
4. Thay giá trị tổng (hoặc hiệu) đã cho để tìm $x$ và $y$.

Ví dụ 1: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ và $x + y = 10$.

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{x + y}{2 + 3} = \frac{10}{5} = 2$

Suy ra:

• $x = 2 \cdot 2 = 4$
• $y = 2 \cdot 3 = 6$

Vậy $x = 4$ và $y = 6$.

Ví dụ 2: Tìm hai số $a$ và $b$, biết $\frac{a}{5} = \frac{b}{4}$ và $a - b = 2$.

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{a - b}{5 - 4} = \frac{2}{1} = 2$

Suy ra:

• $a = 2 \cdot 5 = 10$
• $b = 2 \cdot 4 = 8$

Vậy $a = 10$ và $b = 8$.

3.2. Dạng bài toán 2: Bài toán chia tỉ lệ

Phương pháp giải: Tương tự như dạng 1, nhưng cần xác định đúng tỉ lệ giữa các đại lượng.

Ví dụ 3: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tất cả 120 cây. Số cây lớp 7A trồng được bằng $\frac{3}{4}$ số cây lớp 7B trồng được, số cây lớp 7B trồng được bằng $\frac{4}{5}$ số cây lớp 7C trồng được. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

Giải:

Gọi số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $x$, $y$, $z$.

Theo đề bài, ta có:

• $x + y + z = 120$
• $x = \frac{3}{4}y$ => $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$
• $y = \frac{4}{5}z$ => $\frac{y}{4} = \frac{z}{5}$

Từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ và $\frac{y}{4} = \frac{z}{5}$, ta suy ra: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{x + y + z}{3 + 4 + 5} = \frac{120}{12} = 10$

Suy ra:

• $x = 10 \cdot 3 = 30$
• $y = 10 \cdot 4 = 40$
• $z = 10 \cdot 5 = 50$

Vậy lớp 7A trồng được 30 cây, lớp 7B trồng được 40 cây, lớp 7C trồng được 50 cây.

3.3. Dạng bài toán 3: Các bài toán có yếu tố trung gian

Phương pháp giải: Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng thông qua một yếu tố trung gian, sau đó đưa về dạng tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ 4: Số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 2:3:5. Biết số học sinh giỏi của lớp 7A ít hơn số học sinh giỏi của lớp 7B là 3 em. Tính số học sinh giỏi của mỗi lớp.

Giải:

Gọi số học sinh giỏi của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $x, y, z$. Theo đề bài, ta có:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $y - x = 3$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{y - x}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3$

Suy ra:

$x = 3 \cdot 2 = 6$ $y = 3 \cdot 3 = 9$ $z = 3 \cdot 5 = 15$

Vậy số học sinh giỏi của lớp 7A là 6 em, lớp 7B là 9 em, lớp 7C là 15 em.

4. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm hai số $x$ và $y$, biết:

a) $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ và $x + y = 24$

b) $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ và $x - y = 9$

c) $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ và $2x + y = 18$

Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có số học sinh lần lượt tỉ lệ với 4, 5, 6. Biết tổng số học sinh của ba lớp là 105. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Bài 3: Ba công nhân cùng làm một công việc. Biết số ngày làm việc của họ tỉ lệ với 3:4:5 và tổng số ngày làm việc của họ là 36 ngày. Tính số ngày làm việc của mỗi người.

Bài 4: Tìm các số $x, y, z$ biết:

a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và $x + 2y - z = 12$

b) $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ và $x^2 + y^2 + z^2 = 200$

Bài 5: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$

b) $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$

c) $\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}$

5. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ (Tham khảo)

(Đáp án chi tiết sẽ được cung cấp riêng để học sinh tự luyện tập trước)

---

LƯU Ý:

• Khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, cần kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0.
• Nắm vững các dạng bài tập cơ bản để có thể giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
• Thường xuyên luyện tập để rèn luyện kỹ năng giải toán.