TÀI LIỆU HỌC TẬP: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định lý đường phân giác trong tam giác

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Phát biểu cụ thể: Cho tam giác $ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ ($D$ thuộc cạnh $BC$). Khi đó, ta có:

$\qquad \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Chứng minh:

Kẻ $BE$ song song với $AD$ ($E$ thuộc đường thẳng $AC$).

$\qquad \angle{BAD} = \angle{AEB}$ (hai góc so le trong)

$\qquad \angle{DAC} = \angle{ABE}$ (hai góc đồng vị)

Mà $AD$ là phân giác góc $A$ nên $\angle{BAD} = \angle{DAC}$. Suy ra $\angle{AEB} = \angle{ABE}$.

Do đó tam giác $ABE$ cân tại $B$, suy ra $AB = BE$.

Xét tam giác $BEC$ có $AD // BE$, theo định lý Thales, ta có:

$\qquad \frac{DB}{DC} = \frac{EA}{AC}$

Áp dụng tính chất $AB = BE$, ta có $BE = AB$. Thay vào tỉ lệ trên, ta được:

$\qquad \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (điều phải chứng minh).

2. Định lý đảo của định lý đường phân giác trong tam giác

Định lý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua một đỉnh và chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy thì đường thẳng đó là đường phân giác của góc tại đỉnh đó.

Phát biểu cụ thể: Cho tam giác $ABC$, đường thẳng $AD$ ($D$ thuộc cạnh $BC$) sao cho $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Khi đó, $AD$ là đường phân giác của góc $A$.

II. ỨNG DỤNG VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1. Tính độ dài đoạn thẳng

Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

Giải:

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác $ABC$, ta có:

$\qquad \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Suy ra $\frac{DB}{3} = \frac{DC}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\qquad \frac{DB}{3} = \frac{DC}{4} = \frac{DB + DC}{3 + 4} = \frac{BC}{7} = \frac{10}{7}$

Do đó, $DB = \frac{30}{7}$ cm và $DC = \frac{40}{7}$ cm.

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm. Đường phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Tính độ dài đoạn thẳng $AD$.

Giải:

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\qquad BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác $ABC$, ta có:

$\qquad \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$

Suy ra $\frac{AD}{5} = \frac{DC}{13}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\qquad \frac{AD}{5} = \frac{DC}{13} = \frac{AD + DC}{5 + 13} = \frac{AC}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Do đó, $AD = \frac{10}{3}$ cm.

2. Chứng minh một đường thẳng là đường phân giác

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 8$ cm. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = 3.2$ cm. Chứng minh $AD$ là đường phân giác của góc $A$.

Giải:

Ta có $DC = BC - BD = 8 - 3.2 = 4.8$ cm.

Xét tỉ số:

$\qquad \frac{BD}{DC} = \frac{3.2}{4.8} = \frac{32}{48} = \frac{2}{3}$

$\qquad \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Suy ra $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

Theo định lý đảo của định lý đường phân giác, $AD$ là đường phân giác của góc $A$.

3. Các bài toán tổng hợp

Bài toán 4: Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$. Đường phân giác $AD$ của góc $A$ ($D$ thuộc $BC$). Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

a) Điểm $D$ nằm giữa $B$ và $M$.

b) Tính $BD, CD$ biết $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm.

Giải:

a) Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác $ABC$, ta có:

$\qquad \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Vì $AB < AC$ nên $\frac{AB}{AC} < 1$. Suy ra $\frac{DB}{DC} < 1$, do đó $DB < DC$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC = \frac{BC}{2}$.

Giả sử $D$ không nằm giữa $B$ và $M$.

• Nếu $D$ trùng $M$ thì $DB = DC$, mâu thuẫn với $DB < DC$.
• Nếu $D$ nằm giữa $M$ và $C$ thì $DB > DC$, mâu thuẫn với $DB < DC$.

Vậy $D$ nằm giữa $B$ và $M$.

b) (Tương tự bài toán 1) $BD = \frac{30}{7}$ cm và $DC = \frac{40}{7}$ cm.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8$ cm, $AC = 10$ cm, $BC = 12$ cm. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.
2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Đường phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $D$. Tính độ dài đoạn thẳng $AD$.
3. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 15$ cm. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $CD = 8$ cm. Chứng minh $AD$ là đường phân giác của góc $A$.
4. Cho tam giác $ABC$. Gọi $AD$ là đường phân giác của góc $A$ ($D$ thuộc $BC$). Chứng minh rằng:

$\qquad \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$

5. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 10$ cm, $AC = 15$ cm. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Biết $BC = 20$ cm, tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.
6. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $AC = 7$ cm. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Biết $DB = 3$ cm, tính độ dài đoạn thẳng $DC$ và cạnh $BC$.

IV. LỜI KHUYÊN

• Nắm vững lý thuyết về định lý đường phân giác và định lý đảo.
• Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.
• Vẽ hình chính xác để dễ dàng quan sát và giải bài.
• Khi gặp bài toán khó, hãy thử nhiều cách tiếp cận khác nhau.

Chúc các bạn học tốt!