PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC: BIẾN ĐƯỜNG TRÒN THÀNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản

1.1. Định nghĩa

Cho đường tròn $(O;R)$ cố định và điểm $O$ gọi là tâm nghịch đảo. Phép nghịch đảo tâm $O$, phương $R^2$ là phép biến hình biến điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $OM.OM' = R^2$. Kí hiệu $\mathcal{I}_{(O;R)}(M) = M'$.

1.2. Các tính chất cơ bản

• Tính chất 1: Phép nghịch đảo là một song ánh. Nếu $\mathcal{I}_{(O;R)}(M) = M'$ thì $\mathcal{I}_{(O;R)}(M') = M$.

• Tính chất 2: Điểm $M$ nằm trên đường tròn $(O;R)$ thì ảnh của nó là chính nó.

• Tính chất 3: Cho hai điểm $M$, $N$ và ảnh của chúng qua phép nghịch đảo là $M'$, $N'$. Khi đó:

  $M'N' = \frac{MN.R^2}{OM.ON}$

  Chứng minh:

  Ta có: $OM.OM' = ON.ON' = R^2$. Xét tam giác $OMN$ và $ON'M'$, ta có:

  • $\angle MON = \angle M'ON'$ (góc chung)
  • $\frac{OM}{ON'} = \frac{ON}{OM'} = \frac{OM.OM'}{ON'.OM.OM'/ON} = \frac{R^2}{R^2.\frac{ON}{ON'}} = \frac{OM'}{ON}$

  Vậy $\triangle OMN \sim \triangle ON'M'$ (c-g-c). Suy ra $\frac{M'N'}{MN} = \frac{OM'}{ON} = \frac{R^2}{OM.ON}$.

  Do đó: $M'N' = \frac{MN.R^2}{OM.ON}$.

1.3. Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo

• Đường thẳng đi qua tâm nghịch đảo: Ảnh của đường thẳng đi qua tâm $O$ là chính nó.

• Đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo: Ảnh của đường thẳng $d$ không đi qua $O$ là đường tròn $(C)$ đi qua $O$.

• Đường tròn đi qua tâm nghịch đảo: Ảnh của đường tròn $(C)$ đi qua $O$ là đường thẳng $d$ không đi qua $O$.

• Đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo: Ảnh của đường tròn $(C)$ không đi qua $O$ là đường tròn $(C')$ không đi qua $O$.

2. Ứng dụng phép nghịch đảo để giải bài toán hình học

2.1. Chứng minh các đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng

Ý tưởng: Sử dụng phép nghịch đảo để biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại. Khi đó, các bài toán về đường tròn có thể chuyển về các bài toán quen thuộc về đường thẳng.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $D$ là trung điểm $BC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $(K)$ và $(O)$. Chứng minh rằng $AO$, $BC$ và tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ đồng quy.

Giải:

Gọi $T$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ với $BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Ta cần chứng minh $T \equiv I$.

Thực hiện phép nghịch đảo $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}$.

• $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}(B) = B$
• $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}(C) = C'$ sao cho $AC.AC' = AB^2$
• $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}(D) = D'$ sao cho $AD.AD' = AB^2$
• $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}(E) = E'$
• $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}((O)) = d_1$ (đường thẳng)
• $\mathcal{I}_{(A;AB^2)}((K)) = d_2$ (đường thẳng)

Do $(K)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$ nên $AD^2 = AB^2 = AC^2 = AE^2$ và $(K)$ qua $A$ nên $AD$ là tiếp tuyến của $(K)$, suy ra $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(K)$. Gọi $K'$ là ảnh của $K$ qua phép nghịch đảo, ta có $K'$ nằm trên $d_2$. Vì $K'$ nằm trên $(K)$ nên $K' \equiv K$. Ảnh của đường tròn $(O)$ qua phép nghịch đảo là đường thẳng $d_1$ đi qua $B, C'$. Ảnh của đường tròn $(K)$ qua phép nghịch đảo là đường thẳng $d_2$ đi qua $B$ và vuông góc $AD$ tại $D'$. Do $BC$ vuông góc với $AD$ tại $D$, suy ra $B, D', C'$ thẳng hàng.

2.2. Chứng minh các điểm thuộc đường tròn

Ý tưởng: Sử dụng phép nghịch đảo để biến đường thẳng thành đường tròn và ngược lại. Khi đó, ta có thể chuyển bài toán chứng minh các điểm thuộc đường tròn về bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$. Chứng minh rằng năm điểm $B$, $C$, $E$, $F$, $M$ thuộc cùng một đường tròn.

2.3. Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số

Ý tưởng: Sử dụng công thức $M'N' = \frac{MN.R^2}{OM.ON}$ để tính độ dài đoạn thẳng sau khi nghịch đảo.

3. Bài tập vận dụng

1. Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $A$, $B$, $C$, $O$ cùng thuộc một đường tròn.

2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $A$, $I$, $D$ thẳng hàng.

3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$, $E$, $F$ là chân đường cao kẻ từ $A$, $B$, $C$ của tam giác. Gọi $M$, $N$ là giao điểm của $EF$ với $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng $A$, $M$, $N$, $O$ cùng thuộc một đường tròn.

4. Kết luận

Phép nghịch đảo là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp bằng cách biến đổi các đối tượng hình học một cách khéo léo. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của phép nghịch đảo sẽ giúp các bạn học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn.