TÀI LIỆU HỌC TẬP: PHƯƠNG TÍCH CỦA ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN & ĐỘ DÀI TIẾP TUYẾN

I. PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN

1. Định nghĩa

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $M$ bất kỳ trong mặt phẳng. Qua $M$ vẽ một đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Tích $MA \cdot MB$ được gọi là phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn $(O; R)$.

Ký hiệu: $P_{M/(O)} = MA \cdot MB$

Lưu ý:

• Phương tích $P_{M/(O)}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$ mà chỉ phụ thuộc vào điểm $M$ và đường tròn $(O; R)$.
• Nếu $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; R)$, thì $P_{M/(O)} > 0$.
• Nếu $M$ nằm trên đường tròn $(O; R)$, thì $P_{M/(O)} = 0$.
• Nếu $M$ nằm trong đường tròn $(O; R)$, thì $P_{M/(O)} < 0$.

2. Công thức tính phương tích

Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$. Gọi $d = OM$ là khoảng cách từ $M$ đến tâm $O$ của đường tròn. Khi đó, phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn $(O; R)$ được tính theo công thức:

$P_{M/(O)} = d^2 - R^2 = OM^2 - R^2$

Chứng minh:

Xét đường thẳng $d$ đi qua $O$ và $M$. Đường thẳng này cắt $(O; R)$ tại hai điểm $A$ và $B$.

• Trường hợp 1: $M$ nằm ngoài đường tròn.

  Khi đó, $A$ nằm giữa $M$ và $O$, $B$ nằm giữa $O$ và $M$, và $MA = MO - OA = d - R$, $MB = MO + OB = d + R$.

  Vậy, $P_{M/(O)} = MA \cdot MB = (d - R)(d + R) = d^2 - R^2$.

• Trường hợp 2: $M$ nằm trong đường tròn.

  Khi đó, $M$ nằm giữa $A$ và $B$, $MA = R - MO = R - d$, $MB = R + MO = R + d$. Tuy nhiên, tích $MA \cdot MB$ được lấy giá trị đại số nên ta cần xét thêm chiều. Quy ước chiều dương là chiều từ $M$ ra xa $O$. Khi đó, $MA = d - R$, $MB = -d-R$ nên $P_{M/(O)} = (d - R)(-d - R) = R^2 - d^2 = d^2 - R^2$.

  Vậy, $P_{M/(O)} = MA \cdot MB = (R - d)(-(R + d)) = d^2 - R^2$.

• Trường hợp 3: $M$ nằm trên đường tròn.

  Khi đó, $M$ trùng với $A$ hoặc $B$, nên $MA = 0$ hoặc $MB = 0$. Do đó, $P_{M/(O)} = MA \cdot MB = 0$. Đồng thời, $OM = R \Rightarrow OM^2 - R^2 = 0$.

Trong mọi trường hợp, ta đều có $P_{M/(O)} = OM^2 - R^2$.

II. ĐỘ DÀI TIẾP TUYẾN

1. Định nghĩa

Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MT$ đến đường tròn $(O; R)$ (với $T$ là tiếp điểm). Độ dài đoạn thẳng $MT$ được gọi là độ dài tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ kẻ từ $M$.

2. Công thức tính độ dài tiếp tuyến

Độ dài tiếp tuyến $MT$ của đường tròn $(O; R)$ kẻ từ điểm $M$ được tính theo công thức:

$MT = \sqrt{P_{M/(O)}} = \sqrt{OM^2 - R^2}$

Chứng minh:

Vì $MT$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ tại $T$, nên $OT \perp MT$. Tam giác $OTM$ là tam giác vuông tại $T$.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $OTM$, ta có:

$OM^2 = OT^2 + MT^2$

$MT^2 = OM^2 - OT^2 = OM^2 - R^2 = P_{M/(O)}$

$MT = \sqrt{P_{M/(O)}} = \sqrt{OM^2 - R^2}$

III. ỨNG DỤNG

1. Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Sử dụng phương tích để chứng minh các bài toán về đường thẳng đồng quy, đặc biệt là các bài toán liên quan đến trục đẳng phương của hai đường tròn.

2. Chứng minh các điểm thuộc một đường tròn

Sử dụng phương tích để chứng minh các bài toán về bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Nếu $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ thì bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn (với $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường thẳng hoặc không).

3. Giải các bài toán về độ dài

Sử dụng công thức tính phương tích và độ dài tiếp tuyến để giải các bài toán về độ dài đoạn thẳng, diện tích hình phẳng.

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 5)$ và điểm $M$ cách $O$ một khoảng bằng 13.

a) Tính phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn $(O; 5)$.

b) Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MT$ đến đường tròn $(O; 5)$. Tính độ dài đoạn thẳng $MT$.

Bài 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ hai cát tuyến $MAB$ và $MCD$ sao cho $A$ nằm giữa $M$ và $B$, $C$ nằm giữa $M$ và $D$. Chứng minh rằng $MA \cdot MB = MC \cdot MD$.

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $OM^2 = R^2 - \frac{BC^2}{4}$.

Bài 4: Cho hai đường tròn $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ trên đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng phương tích của điểm $M$ đối với hai đường tròn là bằng nhau.