TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (UCLN) VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN) BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

I. ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Số nguyên tố và hợp số

• Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
  • Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...
• Hợp số: Là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
  • Ví dụ: 4, 6, 8, 9, 10, 12,...
• Số 1: Không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.
• Số 0: Không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố. Có hai cách phân tích chính:

Cách 1: Chia theo cột dọc

Ví dụ: Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố.

60 | 2
30 | 2
15 | 3
 5 | 5
 1 |

Vậy: $60 = 2^2 . 3 . 5$

Cách 2: Vẽ sơ đồ cây

Ví dụ: Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố.

      60
     /  \
    2   30
       /  \
      2   15
          / \
         3   5

Vậy: $60 = 2^2 . 3 . 5$

II. TÌM UCLN VÀ BCNN BẰNG PHÂN TÍCH THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

1. Tìm UCLN

Quy tắc:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, chọn lũy thừa nhỏ nhất.
4. Tích các lũy thừa đã chọn là UCLN cần tìm.

Ví dụ: Tìm UCLN(24, 36)

1. Phân tích ra thừa số nguyên tố:
   • $24 = 2^3 . 3$
   • $36 = 2^2 . 3^2$
2. Thừa số nguyên tố chung: 2 và 3.
3. Lũy thừa nhỏ nhất của 2: $2^2$ Lũy thừa nhỏ nhất của 3: $3$
4. UCLN(24, 36) = $2^2 . 3 = 12$

Kí hiệu: UCLN(a, b) hay (a, b)

2. Tìm BCNN

Quy tắc:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
3. Với mỗi thừa số nguyên tố, chọn lũy thừa lớn nhất.
4. Tích các lũy thừa đã chọn là BCNN cần tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN(24, 36)

1. Phân tích ra thừa số nguyên tố:
   • $24 = 2^3 . 3$
   • $36 = 2^2 . 3^2$
2. Thừa số nguyên tố chung và riêng: 2 và 3.
3. Lũy thừa lớn nhất của 2: $2^3$ Lũy thừa lớn nhất của 3: $3^2$
4. BCNN(24, 36) = $2^3 . 3^2 = 72$

Kí hiệu: BCNN(a, b) hay [a, b]

3. Ví dụ tổng hợp

Tìm UCLN và BCNN của 18, 30 và 42.

1. Phân tích ra thừa số nguyên tố:
   • $18 = 2 . 3^2$
   • $30 = 2 . 3 . 5$
   • $42 = 2 . 3 . 7$
2. UCLN(18, 30, 42):
   • Thừa số nguyên tố chung: 2 và 3
   • Lũy thừa nhỏ nhất của 2: $2^1 = 2$
   • Lũy thừa nhỏ nhất của 3: $3^1 = 3$
   • UCLN(18, 30, 42) = $2 . 3 = 6$
3. BCNN(18, 30, 42):
   • Thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 5 và 7
   • Lũy thừa lớn nhất của 2: $2^1 = 2$
   • Lũy thừa lớn nhất của 3: $3^2 = 9$
   • Lũy thừa lớn nhất của 5: $5^1 = 5$
   • Lũy thừa lớn nhất của 7: $7^1 = 7$
   • BCNN(18, 30, 42) = $2 . 9 . 5 . 7 = 630$

III. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

1. Nếu hai số không có thừa số nguyên tố chung (UCLN = 1), ta gọi chúng là hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ: 8 và 15 là hai số nguyên tố cùng nhau.
2. Nếu số lớn chia hết cho số nhỏ thì UCLN của hai số là số nhỏ, BCNN của hai số là số lớn. Ví dụ: UCLN(12, 24) = 12, BCNN(12, 24) = 24

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Tìm UCLN và BCNN của các cặp số sau:
   • a) 16 và 24
   • b) 45 và 75
   • c) 120 và 144
2. Tìm UCLN và BCNN của các số sau:
   • a) 15, 20 và 30
   • b) 28, 42 và 70
   • c) 36, 60 và 90
3. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết:
   • a) UCLN(a, b) = 12 và a . b = 864
   • b) BCNN(a, b) = 140 và a + b = 48

V. LỜI KHUYÊN

• Luyện tập thường xuyên để nắm vững phương pháp.
• Làm các bài tập từ dễ đến khó để nâng cao kỹ năng.
• Nắm vững các trường hợp đặc biệt để giải bài nhanh hơn.

Chúc các bạn học tốt!