Phương pháp thế trong giải hệ phương trình

Tài liệu học tập: Phương pháp thế trong giải hệ phương trình (Lớp 9)

1. Giới thiệu chung

Phương pháp thế là một trong những phương pháp quan trọng để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Ý tưởng chính của phương pháp này là biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ một phương trình, sau đó thay thế vào phương trình còn lại để thu được một phương trình chỉ chứa một ẩn. Từ đó, ta có thể giải phương trình một ẩn này và tìm được giá trị của các ẩn.

2. Các bước thực hiện phương pháp thế

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn phương trình và ẩn số

Chọn một trong hai phương trình trong hệ mà có thể dễ dàng biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.
Chọn ẩn số mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất (nếu có) để việc biến đổi trở nên đơn giản hơn.

Bước 2: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại

Từ phương trình đã chọn, sử dụng các phép biến đổi đại số (cộng, trừ, nhân, chia) để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Ví dụ, nếu ta có phương trình $ax + by = c$ , ta có thể biểu diễn $x$ theo $y$ (hoặc ngược lại) như sau:

$x = \frac{c - by}{a}$ (nếu $a \neq 0$ )

Bước 3: Thế vào phương trình còn lại

Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại trong hệ. Khi đó, ta sẽ thu được một phương trình chỉ chứa một ẩn.

Bước 4: Giải phương trình một ẩn

Giải phương trình một ẩn vừa nhận được để tìm ra giá trị của ẩn đó.

Bước 5: Tìm giá trị của ẩn còn lại

Thay giá trị ẩn vừa tìm được vào biểu thức đã biểu diễn ở Bước 2 để tìm ra giá trị của ẩn còn lại.

Bước 6: Kết luận

Kết luận nghiệm của hệ phương trình. Nghiệm của hệ phương trình là cặp số $(x; y)$ , trong đó $x$ và $y$ là giá trị đã tìm được.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\qquad \begin{cases} \qquad x + y = 3 \\ \qquad 2x - y = 0 \qquad \end{cases}$

Giải:

Bước 1: Chọn phương trình (1) vì hệ số của cả $x$ và $y$ đều là 1, việc biểu diễn sẽ đơn giản.
Bước 2: Từ phương trình (1), ta biểu diễn $x$ theo $y$ :

$x = 3 - y$
Bước 3: Thế $x = 3 - y$ vào phương trình (2), ta được:

$2(3 - y) - y = 0$
Bước 4: Giải phương trình một ẩn:

$6 - 2y - y = 0$ $6 - 3y = 0$ $3y = 6$ $y = 2$
Bước 5: Thay $y = 2$ vào biểu thức $x = 3 - y$ , ta được:

$x = 3 - 2 = 1$
Bước 6: Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$ .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\qquad \begin{cases} \qquad 2x + 3y = 5 \\ \qquad x - y = 1 \qquad \end{cases}$

Giải:

Bước 1: Chọn phương trình (2) vì hệ số của $x$ và $y$ đều là 1 hoặc -1, việc biểu diễn sẽ đơn giản.
Bước 2: Từ phương trình (2), ta biểu diễn $x$ theo $y$ :

$x = y + 1$
Bước 3: Thế $x = y + 1$ vào phương trình (1), ta được:

$2(y + 1) + 3y = 5$
Bước 4: Giải phương trình một ẩn:

$2y + 2 + 3y = 5$ $5y + 2 = 5$ $5y = 3$ $y = \frac{3}{5}$
Bước 5: Thay $y = \frac{3}{5}$ vào biểu thức $x = y + 1$ , ta được:

$x = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}$
Bước 6: Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\frac{8}{5}; \frac{3}{5}\right)$ .

4. Lưu ý khi sử dụng phương pháp thế

Khi biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại, hãy cẩn thận với các phép biến đổi đại số để tránh sai sót.
Nếu trong quá trình giải phương trình một ẩn mà thu được một đẳng thức luôn đúng (ví dụ: 0 = 0), thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Nếu trong quá trình giải phương trình một ẩn mà thu được một đẳng thức vô lý (ví dụ: 0 = 1), thì hệ phương trình vô nghiệm.

5. Bài tập tự luyện

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 4 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x - y = 7 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ x - 3y = 8 \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x - 2y = 11 \\ 4x + 5y = -3 \end{cases}$

Chúc các bạn học tốt!