Tài Liệu Học Tập: Công Thức Gauss (Công Thức "Dây Giày") Tính Diện Tích Đa Giác

1. Giới Thiệu

Trong hình học phẳng, việc tính diện tích đa giác là một bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng. Một trong những công cụ mạnh mẽ để giải quyết bài toán này là công thức Gauss, còn được biết đến với tên gọi công thức "dây giày". Tài liệu này sẽ trình bày chi tiết về công thức Gauss, cách áp dụng và các ví dụ minh họa.

2. Công Thức Gauss (Công Thức "Dây Giày")

2.1. Phát Biểu Công Thức

Cho đa giác $n$ đỉnh $A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), ..., A_n(x_n, y_n)$ trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích $S$ của đa giác này được tính bởi công thức:

$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$

trong đó quy ước $A_{n+1} = A_1$, tức là $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$.

Cách nhớ công thức (Công thức "dây giày"):

1. Viết tọa độ các đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc cùng chiều kim đồng hồ) thành hai cột:

   x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & y_n \\ x_1 & y_1 \end{matrix}$$

2. Tính tổng các tích chéo xuôi (từ trên xuống dưới, từ trái sang phải) và tổng các tích chéo ngược (từ dưới lên trên, từ trái sang phải).

3. Lấy trị tuyệt đối của hiệu hai tổng này, sau đó chia cho 2.

   $S = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + \cdots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \cdots + y_nx_1) \right|$

2.2. Chứng Minh Công Thức

Công thức Gauss có thể được chứng minh bằng cách chia đa giác thành các tam giác và tính tổng diện tích các tam giác đó. Xét tam giác $OA_iA_{i+1}$ với $O$ là gốc tọa độ. Diện tích tam giác này là:

$S_{OA_iA_{i+1}} = \frac{1}{2} |x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i|$

Diện tích đa giác là tổng (có dấu) các diện tích tam giác $OA_iA_{i+1}$:

$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$

Dấu của diện tích tam giác phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh. Nếu các đỉnh được liệt kê theo chiều ngược kim đồng hồ, diện tích là dương. Nếu các đỉnh được liệt kê theo chiều kim đồng hồ, diện tích là âm. Việc lấy trị tuyệt đối đảm bảo diện tích luôn dương.

3. Ví Dụ Minh Họa

3.1. Ví Dụ 1: Tính diện tích tam giác

Cho tam giác $ABC$ với $A(1, 2), B(4, 3), C(2, 5)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Giải:

Viết tọa độ các đỉnh theo thứ tự:

undefined