ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC: CÔNG THỨC DE MOIVRE
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Số phức lượng giác:
Mỗi số phức z có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác:
z = r ( cos φ + i sin φ ) z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) z = r ( cos φ + i sin φ )
trong đó:
r là mô-đun của z , r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 φ \varphi φ z , φ = arg ( z ) \varphi = \arg(z) φ = arg ( z )
2. Công thức De Moivre:
Cho số phức z = r ( cos φ + i sin φ ) z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) z = r ( cos φ + i sin φ ) n , ta có:
z n = r n ( cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) ) z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) z n = r n ( cos ( n φ ) + i sin ( n φ ))
Trường hợp đặc biệt khi r = 1:
( cos φ + i sin φ ) n = cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi) ( cos φ + i sin φ ) n = cos ( n φ ) + i sin ( n φ )
Công thức này là công cụ mạnh mẽ để biến đổi và giải các bài toán lượng giác.
3. Khai triển nhị thức Newton:
( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k
trong đó C n k = n ! k ! ( n − k ) ! C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} C n k = k ! ( n − k )! n ! k của n .
II. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC DE MOIVRE TRONG LƯỢNG GIÁC
1. Biểu diễn cos ( n φ ) \cos(n\varphi) cos ( n φ ) sin ( n φ ) \sin(n\varphi) sin ( n φ ) cos φ \cos\varphi cos φ sin φ \sin\varphi sin φ
Sử dụng công thức De Moivre:
( cos φ + i sin φ ) n = cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi) ( cos φ + i sin φ ) n = cos ( n φ ) + i sin ( n φ )
Khai triển vế trái bằng nhị thức Newton, sau đó đồng nhất phần thực và phần ảo, ta sẽ thu được biểu thức của cos ( n φ ) \cos(n\varphi) cos ( n φ ) sin ( n φ ) \sin(n\varphi) sin ( n φ )
Ví dụ 1: Biểu diễn cos ( 3 φ ) \cos(3\varphi) cos ( 3 φ ) sin ( 3 φ ) \sin(3\varphi) sin ( 3 φ ) cos φ \cos \varphi cos φ sin φ \sin \varphi sin φ
Ta có:
( cos φ + i sin φ ) 3 = cos ( 3 φ ) + i sin ( 3 φ ) (\cos \varphi + i \sin \varphi)^3 = \cos(3\varphi) + i \sin(3\varphi) ( cos φ + i sin φ ) 3 = cos ( 3 φ ) + i sin ( 3 φ )
Khai triển vế trái:
( cos φ + i sin φ ) 3 = cos 3 φ + 3 i cos 2 φ sin φ − 3 cos φ sin 2 φ − i sin 3 φ (\cos \varphi + i \sin \varphi)^3 = \cos^3 \varphi + 3i \cos^2 \varphi \sin \varphi - 3 \cos \varphi \sin^2 \varphi - i \sin^3 \varphi ( cos φ + i sin φ ) 3 = cos 3 φ + 3 i cos 2 φ sin φ − 3 cos φ sin 2 φ − i sin 3 φ
= ( cos 3 φ − 3 cos φ sin 2 φ ) + i ( 3 cos 2 φ sin φ − sin 3 φ ) \qquad\qquad\qquad\quad = (\cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \sin^2 \varphi) + i(3 \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^3 \varphi) = ( cos 3 φ − 3 cos φ sin 2 φ ) + i ( 3 cos 2 φ sin φ − sin 3 φ )
Đồng nhất phần thực và phần ảo:
cos ( 3 φ ) = cos 3 φ − 3 cos φ sin 2 φ \cos(3\varphi) = \cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \sin^2 \varphi cos ( 3 φ ) = cos 3 φ − 3 cos φ sin 2 φ sin ( 3 φ ) = 3 cos 2 φ sin φ − sin 3 φ \sin(3\varphi) = 3 \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^3 \varphi sin ( 3 φ ) = 3 cos 2 φ sin φ − sin 3 φ
Sử dụng sin 2 φ = 1 − cos 2 φ \sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi sin 2 φ = 1 − cos 2 φ cos 2 φ = 1 − sin 2 φ \cos^2 \varphi = 1 - \sin^2 \varphi cos 2 φ = 1 − sin 2 φ
cos ( 3 φ ) = 4 cos 3 φ − 3 cos φ \cos(3\varphi) = 4 \cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi cos ( 3 φ ) = 4 cos 3 φ − 3 cos φ sin ( 3 φ ) = 3 sin φ − 4 sin 3 φ \sin(3\varphi) = 3 \sin \varphi - 4 \sin^3 \varphi sin ( 3 φ ) = 3 sin φ − 4 sin 3 φ
2. Biểu diễn cos n φ \cos^n \varphi cos n φ sin n φ \sin^n \varphi sin n φ
Sử dụng công thức Euler:
cos φ = e i φ + e − i φ 2 \cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2} cos φ = 2 e i φ + e − i φ sin φ = e i φ − e − i φ 2 i \sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i} sin φ = 2 i e i φ − e − i φ
Thay vào biểu thức cos n φ \cos^n \varphi cos n φ sin n φ \sin^n \varphi sin n φ
Ví dụ 2: Biểu diễn cos 3 φ \cos^3 \varphi cos 3 φ
Ta có:
cos 3 φ = ( e i φ + e − i φ 2 ) 3 = 1 8 ( e 3 i φ + 3 e 2 i φ e − i φ + 3 e i φ e − 2 i φ + e − 3 i φ ) \cos^3 \varphi = \left( \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} (e^{3i\varphi} + 3e^{2i\varphi} e^{-i\varphi} + 3e^{i\varphi} e^{-2i\varphi} + e^{-3i\varphi}) cos 3 φ = ( 2 e i φ + e − i φ ) 3 = 8 1 ( e 3 i φ + 3 e 2 i φ e − i φ + 3 e i φ e − 2 i φ + e − 3 i φ )
= 1 8 ( e 3 i φ + e − 3 i φ + 3 ( e i φ + e − i φ ) ) \qquad\qquad= \frac{1}{8} (e^{3i\varphi} + e^{-3i\varphi} + 3(e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})) = 8 1 ( e 3 i φ + e − 3 i φ + 3 ( e i φ + e − i φ ))
= 1 8 ( 2 cos ( 3 φ ) + 6 cos φ ) = 1 4 cos ( 3 φ ) + 3 4 cos φ \qquad\qquad= \frac{1}{8} (2\cos(3\varphi) + 6\cos \varphi) = \frac{1}{4}\cos(3\varphi) + \frac{3}{4}\cos \varphi = 8 1 ( 2 cos ( 3 φ ) + 6 cos φ ) = 4 1 cos ( 3 φ ) + 4 3 cos φ
Vậy, cos 3 φ = 1 4 cos ( 3 φ ) + 3 4 cos φ \cos^3 \varphi = \frac{1}{4}\cos(3\varphi) + \frac{3}{4}\cos \varphi cos 3 φ = 4 1 cos ( 3 φ ) + 4 3 cos φ
Ví dụ 3: Biểu diễn sin 3 φ \sin^3 \varphi sin 3 φ
Ta có:
sin 3 φ = ( e i φ − e − i φ 2 i ) 3 = 1 ( 2 i ) 3 ( e i φ − e − i φ ) 3 = 1 − 8 i ( e 3 i φ − 3 e i φ + 3 e − i φ − e − 3 i φ ) \sin^3 \varphi = \left( \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i} \right)^3 = \frac{1}{(2i)^3} (e^{i\varphi} - e^{-i\varphi})^3 = \frac{1}{-8i} (e^{3i\varphi} - 3 e^{i\varphi} + 3 e^{-i\varphi} - e^{-3i\varphi}) sin 3 φ = ( 2 i e i φ − e − i φ ) 3 = ( 2 i ) 3 1 ( e i φ − e − i φ ) 3 = − 8 i 1 ( e 3 i φ − 3 e i φ + 3 e − i φ − e − 3 i φ )
= 1 − 8 i [ ( e 3 i φ − e − 3 i φ ) − 3 ( e i φ − e − i φ ) ] \qquad\qquad= \frac{1}{-8i} [(e^{3i\varphi} - e^{-3i\varphi}) - 3(e^{i\varphi} - e^{-i\varphi})] = − 8 i 1 [( e 3 i φ − e − 3 i φ ) − 3 ( e i φ − e − i φ )]
= 1 − 8 i ( 2 i sin ( 3 φ ) − 6 i sin φ ) = − 1 4 sin ( 3 φ ) + 3 4 sin φ \qquad\qquad= \frac{1}{-8i} (2i \sin(3\varphi) - 6i \sin \varphi) = -\frac{1}{4} \sin(3\varphi) + \frac{3}{4} \sin \varphi = − 8 i 1 ( 2 i sin ( 3 φ ) − 6 i sin φ ) = − 4 1 sin ( 3 φ ) + 4 3 sin φ
Vậy, sin 3 φ = − 1 4 sin ( 3 φ ) + 3 4 sin φ \sin^3 \varphi = -\frac{1}{4} \sin(3\varphi) + \frac{3}{4} \sin \varphi sin 3 φ = − 4 1 sin ( 3 φ ) + 4 3 sin φ
3. Tính tổng lượng giác:
Công thức De Moivre có thể được sử dụng để tính các tổng lượng giác phức tạp bằng cách chuyển chúng về tổng hình học của số phức.
Ví dụ 4: Tính tổng S n = cos φ + cos 2 φ + ⋯ + cos n φ S_n = \cos \varphi + \cos 2\varphi + \dots + \cos n\varphi S n = cos φ + cos 2 φ + ⋯ + cos n φ
Xét tổng phức: Z n = ( cos φ + i sin φ ) + ( cos 2 φ + i sin 2 φ ) + ⋯ + ( cos n φ + i sin n φ ) Z_n = (\cos \varphi + i \sin \varphi) + (\cos 2\varphi + i \sin 2\varphi) + \dots + (\cos n\varphi + i \sin n\varphi) Z n = ( cos φ + i sin φ ) + ( cos 2 φ + i sin 2 φ ) + ⋯ + ( cos n φ + i sin n φ )
Z n = ( cos φ + cos 2 φ + ⋯ + cos n φ ) + i ( sin φ + sin 2 φ + ⋯ + sin n φ ) Z_n = (\cos \varphi + \cos 2\varphi + \dots + \cos n\varphi) + i(\sin \varphi + \sin 2\varphi + \dots + \sin n\varphi) Z n = ( cos φ + cos 2 φ + ⋯ + cos n φ ) + i ( sin φ + sin 2 φ + ⋯ + sin n φ )
Z n = S n + i T n Z_n = S_n + i T_n Z n = S n + i T n T n = sin φ + sin 2 φ + ⋯ + sin n φ T_n = \sin \varphi + \sin 2\varphi + \dots + \sin n\varphi T n = sin φ + sin 2 φ + ⋯ + sin n φ
Đặt z = cos φ + i sin φ z = \cos \varphi + i \sin \varphi z = cos φ + i sin φ
Z n = z + z 2 + ⋯ + z n = z 1 − z n 1 − z Z_n = z + z^2 + \dots + z^n = z \frac{1-z^n}{1-z} Z n = z + z 2 + ⋯ + z n = z 1 − z 1 − z n
Z n = ( cos φ + i sin φ ) ( 1 − cos n φ − i sin n φ ) 1 − cos φ − i sin φ Z_n = \frac{(\cos \varphi + i \sin \varphi)(1-\cos n\varphi - i \sin n\varphi)}{1-\cos \varphi - i \sin \varphi} Z n = 1 − c o s φ − i s i n φ ( c o s φ + i s i n φ ) ( 1 − c o s n φ − i s i n n φ )
Nhân cả tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu:
Z n = ( cos φ + i sin φ ) ( 1 − cos n φ − i sin n φ ) ( 1 − cos φ + i sin φ ) ( 1 − cos φ ) 2 + sin 2 φ Z_n = \frac{(\cos \varphi + i \sin \varphi)(1-\cos n\varphi - i \sin n\varphi)(1-\cos \varphi + i \sin \varphi)}{(1-\cos \varphi)^2 + \sin^2 \varphi} Z n = ( 1 − c o s φ ) 2 + s i n 2 φ ( c o s φ + i s i n φ ) ( 1 − c o s n φ − i s i n n φ ) ( 1 − c o s φ + i s i n φ )
Sau khi rút gọn và lấy phần thực của Z n Z_n Z n S n S_n S n
4. Chứng minh đẳng thức lượng giác:
Bằng cách sử dụng công thức De Moivre, ta có thể chứng minh các đẳng thức lượng giác phức tạp một cách dễ dàng.
Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức: sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
Xét:
e i ( a + b ) = cos ( a + b ) + i sin ( a + b ) e^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i \sin(a+b) e i ( a + b ) = cos ( a + b ) + i sin ( a + b )
Mặt khác:
e i ( a + b ) = e i a e i b = ( cos a + i sin a ) ( cos b + i sin b ) e^{i(a+b)} = e^{ia} e^{ib} = (\cos a + i \sin a)(\cos b + i \sin b) e i ( a + b ) = e ia e ib = ( cos a + i sin a ) ( cos b + i sin b )
= ( cos a cos b − sin a sin b ) + i ( sin a cos b + cos a sin b ) \qquad\qquad= (\cos a \cos b - \sin a \sin b) + i(\sin a \cos b + \cos a \sin b) = ( cos a cos b − sin a sin b ) + i ( sin a cos b + cos a sin b )
Đồng nhất phần ảo:
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Biểu diễn cos ( 5 φ ) \cos(5\varphi) cos ( 5 φ ) sin ( 5 φ ) \sin(5\varphi) sin ( 5 φ ) cos φ \cos \varphi cos φ sin φ \sin \varphi sin φ
Bài 2: Biểu diễn cos 5 φ \cos^5 \varphi cos 5 φ sin 5 φ \sin^5 \varphi sin 5 φ
Bài 3: Tính tổng S n = sin φ + sin 3 φ + sin 5 φ + ⋯ + sin ( 2 n − 1 ) φ S_n = \sin \varphi + \sin 3\varphi + \sin 5\varphi + \dots + \sin (2n-1)\varphi S n = sin φ + sin 3 φ + sin 5 φ + ⋯ + sin ( 2 n − 1 ) φ
Bài 4: Chứng minh đẳng thức: cos ( 2 x ) = cos 2 x − sin 2 x \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x cos ( 2 x ) = cos 2 x − sin 2 x
Bài 5: Chứng minh rằng nếu sin ( n x ) = 0 \sin(nx) = 0 sin ( n x ) = 0 x = k π n x = \frac{k\pi}{n} x = n kπ k là số nguyên.
IV. KẾT LUẬN
Việc ứng dụng số phức vào giải bài toán lượng giác, đặc biệt là thông qua công thức De Moivre, là một kỹ thuật hiệu quả và mạnh mẽ. Nó cho phép giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách đơn giản và trực quan hơn. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành các ví dụ sẽ giúp học sinh làm chủ phương pháp này và ứng dụng nó vào giải các bài toán lượng giác khác nhau.