TÀI LIỆU HỌC TẬP: SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. PHƯƠNG TRÌNH $\sin x = a$

Phương trình $\sin x = a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a| \le 1$ .

2.1. Phương pháp chung:

Bước 1: Giải phương trình $\sin x = a$ để tìm nghiệm tổng quát:
- Nếu $a \in [-1; 1]$ , nghiệm là:
  $\begin{aligned} &x = \arcsin a + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \\ &x = \pi - \arcsin a + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$
- Trường hợp đặc biệt:
  - $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
  - $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
  - $\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
Bước 2: Xác định khoảng (đoạn) đang xét, ví dụ: $(x_1; x_2)$ hoặc $[x_1; x_2]$ .
Bước 3: Thay nghiệm tổng quát vào bất phương trình (hoặc hệ bất phương trình) xác định khoảng (đoạn) đó, từ đó tìm các giá trị nguyên của $k$ .
- Ví dụ: Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = a$ trên khoảng $(x_1; x_2)$ . Ta giải các bất phương trình:
  $\begin{aligned} &x_1 < \arcsin a + k2\pi < x_2 \\ &x_1 < \pi - \arcsin a + k2\pi < x_2 \end{aligned}$
  Tìm các giá trị nguyên của $k$ thỏa mãn.
Bước 4: Đếm số giá trị nguyên của $k$ tìm được. Số lượng giá trị $k$ chính là số nghiệm của phương trình trên khoảng (đoạn) đang xét.

2.2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ trên khoảng $(0; 5\pi)$ .

Bước 1: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ :
$\begin{aligned} &x = \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \\ &x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$
Bước 2: Xét khoảng $(0; 5\pi)$ .
Bước 3: Giải bất phương trình:
- $0 < \frac{\pi}{6} + k2\pi < 5\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{12} < k < \frac{29}{12} \Rightarrow k \in \{0, 1, 2\}$
- $0 < \frac{5\pi}{6} + k2\pi < 5\pi \Leftrightarrow -\frac{5}{12} < k < \frac{25}{12} \Rightarrow k \in \{0, 1, 2\}$
Bước 4: Tổng cộng có 6 giá trị của $k$ , vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng $(0; 5\pi)$ .

Phương trình $\cos x = a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a| \le 1$ .

2.1. Phương pháp chung: Tương tự như phương trình $\sin x = a$ .

Bước 1: Giải phương trình $\cos x = a$ để tìm nghiệm tổng quát:
- Nếu $a \in [-1; 1]$ , nghiệm là:
  $x = \pm \arccos a + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
- Trường hợp đặc biệt:
  - $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
  - $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
  - $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
Bước 2: Xác định khoảng (đoạn) đang xét.
Bước 3: Thay nghiệm tổng quát vào bất phương trình (hoặc hệ bất phương trình) xác định khoảng (đoạn) đó, từ đó tìm các giá trị nguyên của $k$ .
Bước 4: Đếm số giá trị nguyên của $k$ tìm được.

2.2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ trên đoạn $[-\pi; 3\pi]$ .

Bước 1: Giải phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ :
$x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
Bước 2: Xét đoạn $[-\pi; 3\pi]$ .
Bước 3: Giải bất phương trình:
- $-\pi \le \frac{\pi}{6} + k2\pi \le 3\pi \Leftrightarrow -\frac{7}{12} \le k \le \frac{17}{12} \Rightarrow k \in \{0, 1\}$
- $-\pi \le -\frac{\pi}{6} + k2\pi \le 3\pi \Leftrightarrow -\frac{5}{12} \le k \le \frac{19}{12} \Rightarrow k \in \{0, 1\}$
Bước 4: Tổng cộng có 4 giá trị của $k$ , vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn $[-\pi; 3\pi]$ .

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = -\frac{1}{2}$ trên khoảng $(-\pi; 2\pi)$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn $[0; 4\pi]$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ trên khoảng $(-2\pi; 3\pi)$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\cos x = -1$ trên đoạn $[-\pi; 2\pi]$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{3}$ trên khoảng $(0; 3\pi)$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{2}{5}$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ trên khoảng $(0; \pi)$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$ .

Chúc các bạn học tốt!