Tài liệu chuyên đề: Định lý Steiner-Lehmus

I. Phát biểu định lý

Định lý Steiner-Lehmus: Nếu hai đường phân giác trong của một tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

• Phát biểu khác: Cho tam giác $ABC$, $BD$ và $CE$ là các đường phân giác trong. Nếu $BD = CE$ thì $\triangle ABC$ cân tại $A$ (tức là $AB = AC$).

II. Chứng minh định lý

Định lý Steiner-Lehmus có nhiều cách chứng minh khác nhau. Sau đây là một số cách chứng minh phổ biến và dễ hiểu.

1. Chứng minh bằng phản chứng

• Giả sử: $\triangle ABC$ không cân, chẳng hạn $AB \ne AC$. Không mất tính tổng quát, giả sử $AB > AC$.
• Mục tiêu: Chứng minh điều giả sử này dẫn đến mâu thuẫn.
• Phân tích: Ta cần chứng minh $BD \ne CE$.

Chứng minh:

1. Vẽ hình: Vẽ $\triangle ABC$ với $AB > AC$. Vẽ các đường phân giác trong $BD$ và $CE$.

2. Sử dụng định lý đường phân giác:

   • Trong $\triangle ABC$, đường phân giác $BD$ chia cạnh $AC$ thành hai đoạn: $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}$
   • Trong $\triangle ABC$, đường phân giác $CE$ chia cạnh $AB$ thành hai đoạn: $\frac{AE}{BE} = \frac{AC}{BC}$

3. So sánh tỉ lệ: Vì $AB > AC$ nên $\frac{AB}{BC} > \frac{AC}{BC}$. Do đó, $\frac{AD}{CD} > \frac{AE}{BE}$.

4. So sánh độ dài: Từ $\frac{AD}{CD} > \frac{AE}{BE}$, ta suy ra $\frac{AD}{AC} > \frac{AE}{AB}$. Do $AC < AB$ nên $AD > AE$.

5. Xét các điểm $F$ trên $BD$ và $G$ trên $CE$ sao cho $\angle BCE = \angle DBF$ và $\angle CBD = \angle ECG$.

   • Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.
   • Xét $\triangle BOC$, $\angle BOC = 180^\circ - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2}$
   • Vì $AB > AC$ nên $\angle C > \angle B$ suy ra $\frac{\angle C}{2} > \frac{\angle B}{2}$ và $180^\circ - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2} < 180^\circ - \angle B$
   • Dựng điểm $F$ trên $BD$ sao cho $\angle BCF = \frac{\angle B}{2}$. Khi đó $\triangle BFC$ cân tại $F$.
   • Dựng điểm $G$ trên $CE$ sao cho $\angle CBG = \frac{\angle C}{2}$. Khi đó $\triangle BGC$ cân tại $G$.

6. Xét $\triangle BFC$ và $\triangle CGB$:

   • $BC$ chung
   • $\angle BCF = \frac{\angle B}{2}$
   • $\angle CBG = \frac{\angle C}{2}$
   • Vì $\angle B < \angle C$ nên $\angle BCF < \angle CBG$.

7. Sử dụng định lý hàm sin:

   • Trong $\triangle BCE$: $\frac{CE}{\sin{\angle CBE}} = \frac{BC}{\sin{\angle CEB}}$

   • Trong $\triangle BCD$: $\frac{BD}{\sin{\angle BCD}} = \frac{BC}{\sin{\angle BDC}}$

   • Ta có $\angle CBE = \frac{\angle B}{2}$, $\angle BCD = \frac{\angle C}{2}$. Vì $\angle B < \angle C$ nên $\sin{\frac{\angle B}{2}} < \sin{\frac{\angle C}{2}}$.

   • Mặt khác, $\angle CEB > \angle BDC$ (tự chứng minh). Do đó $\sin{\angle CEB} > \sin{\angle BDC}$.

   • Từ đó suy ra $BD < CE$, mâu thuẫn với giả thiết $BD = CE$.

8. Kết luận: Điều giả sử sai. Vậy $AB = AC$, hay $\triangle ABC$ cân tại $A$.

2. Chứng minh bằng biến đổi lượng giác

Chứng minh:

1. Đặt: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, $\alpha = \angle A$, $\beta = \angle B$, $\gamma = \angle C$. Gọi $l_b$ là độ dài đường phân giác $BD$ và $l_c$ là độ dài đường phân giác $CE$.

2. Sử dụng công thức độ dài đường phân giác:

   • $l_b = \frac{2ac}{a+c}\cos{\frac{\beta}{2}}$
   • $l_c = \frac{2ab}{a+b}\cos{\frac{\gamma}{2}}$

3. Theo giả thiết: $l_b = l_c$, suy ra: $\frac{2ac}{a+c}\cos{\frac{\beta}{2}} = \frac{2ab}{a+b}\cos{\frac{\gamma}{2}}$ $\Rightarrow \frac{c}{a+c}\cos{\frac{\beta}{2}} = \frac{b}{a+b}\cos{\frac{\gamma}{2}}$

4. Biến đổi: Giả sử $b \ne c$. Không mất tính tổng quát, giả sử $b > c$. Ta cần chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn.

5. Sử dụng định lý hàm sin:

   • $\frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} \Rightarrow \frac{\sin{\beta}}{\sin{\gamma}} = \frac{b}{c}$
   • Vì $b > c$ nên $\sin{\beta} > \sin{\gamma}$. Trong tam giác, nếu $\beta, \gamma < 180^\circ$, ta có $\beta > \gamma$ hay $\frac{\beta}{2} > \frac{\gamma}{2}$.

6. Xét hàm số $f(x) = \frac{\cos{\frac{x}{2}}}{a+\frac{a\sin{x}}{\sin{\alpha} }}$, với $x \in (0, \pi)$

   • Nếu $\beta > \gamma$ thì $\cos{\frac{\beta}{2}} < \cos{\frac{\gamma}{2}}$ và $\frac{1}{a+c} < \frac{1}{a+b}$.

7. Chứng minh $f(x)$ nghịch biến: (Đây là bước phức tạp, cần biến đổi và sử dụng các đẳng thức lượng giác để chứng minh, bỏ qua chi tiết để giữ tài liệu ở mức độ dễ hiểu).

8. Mâu thuẫn: Vì $\beta > \gamma$ và $f(x)$ nghịch biến, suy ra $f(\beta) < f(\gamma)$, tức là: $\frac{c}{a+c}\cos{\frac{\beta}{2}} < \frac{b}{a+b}\cos{\frac{\gamma}{2}}$ Điều này mâu thuẫn với (3).

9. Kết luận: Điều giả sử sai. Vậy $b = c$, hay $\triangle ABC$ cân tại $A$.

III. Ứng dụng

Định lý Steiner-Lehmus không có ứng dụng trực tiếp trong việc giải toán hình học phổ thông, nhưng nó là một kết quả đẹp và thú vị trong hình học. Nó thường được dùng để xây dựng các bài toán hình học khó, đòi hỏi tư duy sáng tạo.

IV. Bài tập vận dụng

1. Cho tam giác $ABC$. $BD$ và $CE$ là các đường phân giác trong. Biết $BD = CE$ và $\angle A = 60^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC$ là tam giác đều.

2. Cho tam giác $ABC$. $BD$ và $CE$ là các đường phân giác trong. Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Biết $BD = CE$ và $BO = CO$. Chứng minh $\triangle ABC$ cân tại $A$.

3. (Bài toán khó) Cho tứ giác $ABCD$ có các đường phân giác trong của các góc $A$ và $C$ bằng nhau. Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình thang cân hoặc hình bình hành.

V. Tổng kết

Định lý Steiner-Lehmus là một định lý độc đáo và không tầm thường trong hình học. Nó cho thấy một mối liên hệ không trực tiếp giữa độ dài các đường phân giác và tính chất cân của tam giác. Việc chứng minh định lý này đòi hỏi sự khéo léo và am hiểu sâu sắc về các công cụ hình học, đặc biệt là các định lý và công thức lượng giác. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 9 hiểu rõ hơn về định lý Steiner-Lehmus và có thêm một công cụ hữu ích trong việc giải toán hình học.