Biểu Diễn Số Nguyên Bằng Tổng Bình Phương - Định Lý Lagrange

1. Giới Thiệu

Định lý Lagrange, một kết quả đẹp và sâu sắc trong lý thuyết số, khẳng định rằng mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của tối đa bốn số chính phương. Định lý này có lịch sử lâu đời và nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Tài liệu này sẽ trình bày chi tiết về định lý Lagrange, cung cấp các ví dụ minh họa và các kỹ thuật chứng minh cơ bản.

2. Phát Biểu Định Lý Lagrange

Định lý (Lagrange): Mọi số nguyên dương n đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của tối đa bốn số chính phương, tức là tồn tại các số nguyên a, b, c, d sao cho:

$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

Ví dụ:

1 = 1² + 0² + 0² + 0²
2 = 1² + 1² + 0² + 0²
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
7 = 2² + 1² + 1² + 1²
15 = 3² + 2² + 1² + 1²
31 = 5² + 2² + 1² + 1²
310 = 17² + 4² + 3² + 0²

3. Các Kết Quả Liên Quan

Trước khi đi vào chứng minh định lý Lagrange, chúng ta cần xem xét một số kết quả quan trọng liên quan đến tổng của hai số chính phương.

3.1. Đồng Nhất Thức Euler (Euler's Four-Square Identity)

Đồng nhất thức Euler là một đẳng thức quan trọng cho phép chúng ta "nhân" hai tổng của bốn số chính phương:

$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2) =$

$(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + a_4b_4)^2 +$ $(a_1b_2 - a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3)^2 +$ $(a_1b_3 - a_3b_1 + a_4b_2 - a_2b_4)^2 +$ $(a_1b_4 - a_4b_1 + a_2b_3 - a_3b_2)^2$

Ý nghĩa: Nếu hai số m và n đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bốn số chính phương, thì tích mn cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bốn số chính phương.

3.2. Định Lý Về Tổng Hai Số Chính Phương

Một số nguyên n có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương nếu và chỉ nếu trong phân tích tiêu chuẩn của n thành thừa số nguyên tố, mọi thừa số nguyên tố dạng 4k + 3 đều xuất hiện với số mũ chẵn.

Ví dụ:

5 = 2² + 1²
10 = 3² + 1²
13 = 3² + 2²
17 = 4² + 1²

Tuy nhiên, 7, 11, 15 không thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương.

4. Chứng Minh Định Lý Lagrange

Chứng minh định lý Lagrange bao gồm hai bước chính:

4.1. Chứng Minh Rằng Mọi Số Nguyên Tố Đều Có Thể Biểu Diễn Dưới Dạng Tổng Của Bốn Số Chính Phương

Trường hợp 1: p = 2 = 1² + 1² + 0² + 0²

Trường hợp 2: p là số nguyên tố lẻ. Xét hai tập hợp:

A = {x² mod p | x = 0, 1, ..., (p - 1) / 2}
B = {-1 - y² mod p | y = 0, 1, ..., (p - 1) / 2}

Mỗi tập hợp có (p + 1) / 2 phần tử. Vì vậy, tổng số phần tử của A và B là p + 1, lớn hơn p. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số x và y sao cho:

$x^2 \equiv -1 - y^2 \pmod{p}$

Hay:

$x^2 + y^2 + 1^2 + 0^2 = kp$

với một số nguyên k.

Ta có:

$x^2 + y^2 + 1 \le \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 + 1 < \frac{p^2}{2} + 1 < p^2$

Vậy k < p.

4.2. Chứng Minh Bằng Phương Pháp Lùi Vô Hạn

Gọi p là số nguyên tố lẻ. Ta đã chứng minh tồn tại k < p và các số nguyên x, y sao cho:

$x^2 + y^2 + 1^2 + 0^2 = kp$

Chọn k nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên t, u, v, w thỏa mãn:

$t^2 + u^2 + v^2 + w^2 = kp$

Nếu k = 1, ta có điều phải chứng minh. Giả sử k > 1. Ta sẽ tìm cách giảm k xuống.

Nếu k là số chẵn, các số t, u, v, w phải cùng tính chẵn lẻ. Ta có thể viết:

$t = t_1 + t_2$ $u = u_1 + u_2$ $v = v_1 + v_2$ $w = w_1 + w_2$

Sao cho t₁, u₁, v₁, w₁ và t₂, u₂, v₂, w₂ có cùng tính chẵn lẻ. Khi đó:

$\left(\frac{t-u}{2}\right)^2 + \left(\frac{t+u}{2}\right)^2 + \left(\frac{v-w}{2}\right)^2 + \left(\frac{v+w}{2}\right)^2 = \frac{kp}{2}$

Điều này mâu thuẫn với việc chọn k nhỏ nhất. Vậy k phải là số lẻ.

Chọn x, y, z, w sao cho:

$x \equiv t \pmod{k}$ $y \equiv u \pmod{k}$ $z \equiv v \pmod{k}$ $w \equiv w \pmod{k}$

Và:

$|x|, |y|, |z|, |w| \le \frac{k}{2}$

Khi đó:

$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \equiv t^2 + u^2 + v^2 + w^2 \equiv 0 \pmod{k}$

Vậy:

$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = mk$

Với một số nguyên m. Ta có:

$0 \le mk \le 4\left(\frac{k}{2}\right)^2 = k^2$

Suy ra 0 ≤ m ≤ k.

Sử dụng đồng nhất thức Euler:

$(t^2 + u^2 + v^2 + w^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) = (kp)(mk)$

Ta thu được:

$(tx + uy + vz + ww)^2 + (ty - ux + vw - wz)^2 + (tz - vx - uw + wy)^2 + (tw - wx - vy - uz)^2 = k^2pm$

Ta có:

$tx + uy + vz + ww \equiv t^2 + u^2 + v^2 + w^2 \equiv 0 \pmod{k}$ $ty - ux + vw - wz \equiv 0 \pmod{k}$ $tz - vx - uw + wy \equiv 0 \pmod{k}$ $tw - wx - vy - uz \equiv 0 \pmod{k}$

Chia cả hai vế cho k², ta thu được:

$m = \frac{x^2 + y^2 + z^2 + w^2}{k}$

Suy ra km là tổng của bốn số chính phương.

Nếu m = 0, thì x = y = z = w = 0, suy ra t = u = v = w = 0, mâu thuẫn với kp > 0. Nếu m = k, thì x² = y² = z² = w² = k²/4, suy ra x² + y² + z² + w² = k² < kp, điều này chỉ xảy ra khi p > 4, mâu thuẫn.

Vậy 0 < m < k. Điều này mâu thuẫn với việc chọn k nhỏ nhất.

Kết luận: Theo nguyên lý quy nạp, mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bốn số chính phương.

5. Ứng Dụng

Định lý Lagrange có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số, đại số và hình học. Một số ứng dụng đáng chú ý bao gồm:

Chứng minh các định lý số học: Định lý Lagrange được sử dụng để chứng minh nhiều kết quả quan trọng trong lý thuyết số, chẳng hạn như định lý Fermat về tổng hai số chính phương.
Giải phương trình Diophantine: Định lý này có thể được sử dụng để tìm nghiệm nguyên của một số phương trình Diophantine.
Nghiên cứu về dạng toàn phương: Định lý Lagrange là một kết quả cơ bản trong lý thuyết về dạng toàn phương, một lĩnh vực quan trọng của lý thuyết số.

6. Bài Tập

Biểu diễn các số 11, 29, 55, 100 dưới dạng tổng của bốn số chính phương.
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương có dạng 8k + 7 không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số chính phương.
Tìm số nhỏ nhất không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số chính phương.
Chứng minh rằng mọi số nguyên n có dạng n = 4^a(8k + 7) không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số chính phương.
Tìm số nghiệm của phương trình x² + y² + z² + w² = n, với x, y, z, w là các số nguyên và n là một số nguyên dương cho trước. (Bài toán khó)

7. Tài Liệu Tham Khảo

Niven, I., Zuckerman, H. S., & Montgomery, H. L. (1991). An introduction to the theory of numbers (5th ed.). John Wiley & Sons.
Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A classical introduction to modern number theory (2nd ed.). Springer-Verlag.

Biểu diễn số nguyên bằng tổng bình phương