TÀI LIỆU HỌC TẬP: ĐỊNH LÝ WILSON VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TẬP SỐ HỌC

I. LÝ THUYẾT

1. Định lý Wilson

Phát biểu: Một số nguyên $p > 1$ là số nguyên tố khi và chỉ khi $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$.

Chứng minh:

Chiều thuận: Nếu $p$ là số nguyên tố thì $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$.

• Xét $p = 2$, ta có $(2-1)! = 1! = 1 \equiv -1 \pmod{2}$.
• Xét $p > 2$, khi đó $p$ là số nguyên tố lẻ. Xét tập hợp $S = \{1, 2, ..., p-1\}$.
  • Với mỗi $a \in S$, tồn tại duy nhất $a^{-1} \in S$ sao cho $aa^{-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
  • Nếu $a \equiv a^{-1} \pmod{p}$, ta có $a^2 \equiv 1 \pmod{p}$, suy ra $p|(a^2 - 1) \Leftrightarrow p|(a-1)(a+1)$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p|(a-1)$ hoặc $p|(a+1)$. Vì $1 \le a \le p-1$, ta có $a = 1$ hoặc $a = p-1$.
  • Như vậy, trong tập $S$, chỉ có $1$ và $p-1$ là nghịch đảo của chính nó theo modulo $p$. Các số còn lại sẽ ghép cặp với nghịch đảo khác nó.
  • Suy ra $(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-2) \cdot (p-1) \equiv 1 \cdot (p-1) \equiv -1 \pmod{p}$.

Chiều đảo: Nếu $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ thì $p$ là số nguyên tố.

• Giả sử $p$ không là số nguyên tố, khi đó $p$ là hợp số hoặc $p = 1$.
  • Nếu $p = 1$, thì $(p-1)! = 0! = 1 \not\equiv -1 \pmod{1}$.
  • Nếu $p$ là hợp số, tồn tại ước $d$ của $p$ sao cho $1 < d < p$.
    • Nếu $d < p-1$, thì $d$ là một trong các thừa số của $(p-1)!$, suy ra $(p-1)! \equiv 0 \pmod{d}$. Mà $p \equiv 0 \pmod{d}$, do đó $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow (p-1)! \equiv -1 \pmod{d}$. Điều này mâu thuẫn với $(p-1)! \equiv 0 \pmod{d}$.
    • Nếu $d = p-1$ và $p$ là hợp số thì $p \ge 4$. Do đó $p-1 \ge 3$ và $(p-2) \in \{1, 2, ..., p-2\}$, suy ra $2|(p-1)$. Khi đó $(p-1)! \equiv 0 \pmod{p-1}$. Lập luận tương tự như trên, ta cũng có mâu thuẫn.
• Vậy $p$ là số nguyên tố.

2. Dạng khác của định lý Wilson

$(p-1)! + 1$ chia hết cho $p$ khi và chỉ khi $p$ là số nguyên tố.

3. Hệ quả

• Nếu $p$ là số nguyên tố thì $(p-2)! \equiv 1 \pmod{p}$.
  • Chứng minh: Vì $p$ là số nguyên tố nên $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$. Ta có $(p-1)! = (p-2)! \cdot (p-1) \equiv (p-2)! \cdot (-1) \equiv -1 \pmod{p}$. Suy ra $(p-2)! \equiv 1 \pmod{p}$.

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Chứng minh rằng $18! + 1$ chia hết cho 19.

Lời giải:

Vì 19 là số nguyên tố nên theo định lý Wilson, ta có $(19-1)! \equiv -1 \pmod{19}$.

Suy ra $18! \equiv -1 \pmod{19}$.

Do đó $18! + 1 \equiv -1 + 1 \equiv 0 \pmod{19}$, hay $18! + 1$ chia hết cho 19.

2. Tìm số dư khi chia 20! cho 23.

Lời giải:

Vì 23 là số nguyên tố nên theo định lý Wilson, ta có $(23-1)! \equiv -1 \pmod{23}$.

Suy ra $22! \equiv -1 \pmod{23}$.

Ta có $22! = 20! \cdot 21 \cdot 22 \equiv 20! \cdot (-2) \cdot (-1) \equiv 2 \cdot 20! \equiv -1 \pmod{23}$.

Nhân cả hai vế với 12, ta được $24 \cdot 20! \equiv -12 \pmod{23}$, suy ra $20! \equiv -12 \equiv 11 \pmod{23}$.

Vậy số dư khi chia 20! cho 23 là 11.

3. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ thì $1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot ... \cdot (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$.

Lời giải:

Ta có $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (p-2) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-1)}{2 \cdot 4 \cdot ... \cdot (p-1)} = \frac{(p-1)!}{2^{\frac{p-1}{2}} \cdot 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot \frac{p-1}{2}} = \frac{(p-1)!}{2^{\frac{p-1}{2}} \cdot (\frac{p-1}{2})!}$.

Theo định lý Wilson, $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$.

Do đó $1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot ... \cdot (p-2)^2 = \left( \frac{(p-1)!}{2^{\frac{p-1}{2}} \cdot (\frac{p-1}{2})!} \right)^2 = \frac{((p-1)!)^2}{2^{p-1} \cdot ((\frac{p-1}{2})!)^2} \equiv \frac{1}{2^{p-1} \cdot ((\frac{p-1}{2})!)^2} \pmod{p}$.

Theo định lý Fermat nhỏ, $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Suy ra $1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot ... \cdot (p-2)^2 \equiv \frac{1}{((\frac{p-1}{2})!)^2} \pmod{p}$.

4. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$ thì $(2k)!^2 \equiv -1 \pmod{p}$, với $k$ là số nguyên dương.

Lời giải:

Vì $p = 4k+1$ là số nguyên tố nên theo định lý Wilson, $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$.

Ta có $(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (2k) \cdot (2k+1) \cdot ... \cdot (4k) \equiv 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (2k) \cdot (-2k) \cdot (-2k+1) \cdot ... \cdot (-1) \pmod{p}$.

Suy ra $(p-1)! \equiv (2k)! \cdot (-1)^{2k} \cdot (2k)! \equiv (2k)!^2 \cdot (-1)^{2k} \equiv (2k)!^2 \pmod{p}$.

Do đó $(2k)!^2 \equiv -1 \pmod{p}$.

5. Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $(p-1)! + 1$ chia hết cho $p^2$ khi và chỉ khi $p=5$.

Lời giải:

(Bài toán này là một bài toán nâng cao và khá phức tạp, vượt quá trình độ lớp 10. Tuy nhiên, có thể tham khảo hướng giải quyết như sau:)

• Sử dụng định lý Wilson: $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$
• Xét $(p-1)! = kp - 1$
• Ta cần chứng minh $kp - 1 + 1 = kp$ chia hết cho $p^2$, tức là $k$ chia hết cho $p$.
• Phân tích $k$ thành tổng: $k = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{(p-1)!}{i}$
• Sử dụng các tính chất chia hết và số học để chứng minh $k$ chia hết cho $p$ khi và chỉ khi $p=5$.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Chứng minh rằng $28! + 1$ chia hết cho 29.
2. Tìm số dư khi chia 30! cho 31.
3. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $(p-3)! \equiv \frac{1}{2} \pmod{p}$
4. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$.
5. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $(p-1)! + 1$ chia hết cho $p^2$. (Bài toán nâng cao)

Lưu ý: Các bài tập tự luyện giúp các bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hãy cố gắng tự giải các bài tập này trước khi tham khảo lời giải (nếu có).