TÀI LIỆU HỌC TẬP: PHƯƠNG PHÁP CHẶN NGHIỆM VÀ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA NGHIỆM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dành cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu chung

Trong giải toán, đặc biệt là giải phương trình và hệ phương trình, việc tìm ra nghiệm chính xác đôi khi gặp nhiều khó khăn. Phương pháp chặn nghiệm và tìm khoảng giá trị của nghiệm là một kỹ thuật hữu ích giúp thu hẹp phạm vi nghiệm, từ đó có thể tìm ra nghiệm hoặc chứng minh phương trình vô nghiệm.

Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các tính chất của hàm số, bất đẳng thức, hoặc các điều kiện ràng buộc của biến để xác định một khoảng giá trị mà nghiệm có thể thuộc về.

2. Các kỹ thuật chặn nghiệm thường dùng

2.1. Sử dụng tính chất của hàm số

a) Tính đơn điệu của hàm số:

Nếu hàm số $f(x)$ đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên một khoảng $I$, và tồn tại $x_0 \in I$ sao cho $f(x_0) = 0$, thì $x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x) = 0$ trên khoảng $I$.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x+2} = x$.

• Bước 1: Đặt $f(x) = \sqrt{x+2} - x$. Điều kiện: $x \ge -2$.
• Bước 2: Xét đạo hàm: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} - 1$.
• Bước 3: Giải $f'(x) = 0$ để tìm khoảng đơn điệu. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x+2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = -\frac{7}{4}$.
• Bước 4: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu $f'(x)$ để xác định khoảng đơn điệu.
  • Khi $x > -\frac{7}{4}$, $f'(x) < 0$ nên $f(x)$ nghịch biến.
  • Khi $-2 \le x < -\frac{7}{4}$, $f'(x) > 0$ nên $f(x)$ đồng biến.
• Bước 5: Nhận thấy $x=2$ là một nghiệm. Vì $f(x)$ có nhiều nhất hai nghiệm trên $[-2;+\infty)$, ta thử $x=-1$ thì thấy không phải nghiệm. Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất.

b) Tính chẵn lẻ của hàm số:

Nếu $f(x)$ là hàm chẵn (hoặc lẻ) và $x_0$ là một nghiệm của phương trình $f(x) = 0$, thì $-x_0$ cũng là một nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

• Bước 1: Đặt $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
• Bước 2: Nhận thấy $f(x)$ là hàm chẵn vì $f(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4 = f(x)$.
• Bước 3: Giải phương trình $t^2 - 5t + 4 = 0$ với $t = x^2$, ta được $t = 1$ hoặc $t = 4$.
• Bước 4: Suy ra $x^2 = 1$ hoặc $x^2 = 4$, do đó nghiệm là $x = \pm 1$ và $x = \pm 2$.

2.2. Sử dụng bất đẳng thức

a) Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):

Với $a, b \ge 0$, ta có $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b$.

Tổng quát, với $n$ số không âm $a_1, a_2, ..., a_n$, ta có $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$. Dấu "=" xảy ra khi $a_1 = a_2 = ... = a_n$.

b) Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwarz):

Với hai bộ số $(a_1, a_2, ..., a_n)$ và $(b_1, b_2, ..., b_n)$, ta có $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$. Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = ... = \frac{a_n}{b_n}$.

c) Bất đẳng thức tam giác:

$|a+b| \le |a| + |b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab \ge 0$.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} = x^2 - 4x + 6$.

• Bước 1: Điều kiện: $1 \le x \le 3$.
• Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $\sqrt{x-1}$ và $\sqrt{3-x}$, ta có: $\sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} \le \sqrt{(1^2 + 1^2)((x-1) + (3-x))} = \sqrt{2 \cdot 2} = 2$.
• Bước 3: Biến đổi vế phải: $x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 + 2 \ge 2$.
• Bước 4: Vậy phương trình tương đương với $\sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} = 2$ và $x^2 - 4x + 6 = 2$.
• Bước 5: Dấu "=" xảy ra ở bất đẳng thức Cauchy khi $\sqrt{x-1} = \sqrt{3-x} \Leftrightarrow x = 2$.
• Bước 6: Kiểm tra $x = 2$ thỏa mãn phương trình $x^2 - 4x + 6 = 2$.
• Bước 7: Vậy $x = 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

2.3. Sử dụng điều kiện của biến

a) Điều kiện tồn tại của căn thức: Biểu thức $\sqrt{f(x)}$ có nghĩa khi và chỉ khi $f(x) \ge 0$.

b) Điều kiện của mẫu số: Mẫu số của phân thức phải khác 0.

c) Điều kiện của logarit: Biểu thức $\log_a b$ có nghĩa khi và chỉ khi $a > 0$, $a \ne 1$, và $b > 0$.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{x - 2}$.

• Bước 1: Điều kiện:
  • $x^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \le -2$ hoặc $x \ge 2$.
  • $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$.
• Bước 2: Kết hợp hai điều kiện, ta có $x \ge 2$.
• Bước 3: Bình phương hai vế: $x^2 - 4 = x - 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$.
• Bước 4: Nghiệm $x = 2$ thỏa mãn điều kiện $x \ge 2$, nghiệm $x = -1$ không thỏa mãn.
• Bước 5: Vậy $x = 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

2.4. Sử dụng tính chất của biểu thức

a) Biểu thức luôn dương hoặc luôn âm:

• $f(x)^2 \ge 0$ với mọi $x$.
• Nếu $f(x) > 0$ và $g(x) > 0$, thì $f(x) + g(x) > 0$.

b) Đánh giá biểu thức:

Có thể đánh giá biểu thức để chặn khoảng giá trị của nó.

Ví dụ: Giải phương trình $x^4 + x^2 + 1 = 0$.

• Bước 1: Nhận thấy $x^4 \ge 0$ và $x^2 \ge 0$ với mọi $x$.
• Bước 2: Do đó, $x^4 + x^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x$.
• Bước 3: Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Các bước thực hiện phương pháp chặn nghiệm

1. Xác định điều kiện: Tìm điều kiện xác định của phương trình hoặc hệ phương trình (nếu có).
2. Chặn nghiệm:
   • Sử dụng các tính chất của hàm số, bất đẳng thức, hoặc điều kiện của biến để tìm ra các khoảng giá trị mà nghiệm có thể thuộc về.
   • Có thể sử dụng nhiều cách chặn khác nhau để thu hẹp khoảng nghiệm.
3. Kiểm tra:
   • Sau khi chặn được khoảng nghiệm, cần kiểm tra xem có giá trị nào trong khoảng đó là nghiệm của phương trình hay không.
   • Có thể sử dụng phương pháp thử trực tiếp hoặc sử dụng các kỹ thuật giải phương trình khác để tìm nghiệm chính xác.
4. Kết luận: Kết luận về nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình $\sqrt{x+5} = 4-x$.

Bài 2: Giải phương trình $x^2 + \sqrt{x+1} = 1$.

Bài 3: Giải phương trình $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} = \sqrt{x+2}$.

Bài 4: Giải hệ phương trình:

undefined