ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN TRONG GIẢI TAM GIÁC
I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Định lý Cosin
Trong tam giác A B C ABC A BC
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C
Trong đó:
a a a b b b c c c A B C ABC A BC B C BC BC C A CA C A A B AB A B A A A B B B C C C A B C ABC A BC
Từ định lý cosin, ta suy ra công thức tính cosin của các góc:
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c \cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2 cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2
2. Ứng dụng
Định lý cosin được ứng dụng để:
Tính độ dài cạnh của tam giác : Khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
Tính góc của tam giác : Khi biết độ dài ba cạnh.
Xác định loại tam giác : (nhọn, tù, vuông) dựa vào dấu của cosin góc.
Tam giác A B C ABC A BC cos A , cos B , cos C > 0 \cos A, \cos B, \cos C > 0 cos A , cos B , cos C > 0
Tam giác A B C ABC A BC
Tam giác A B C ABC A BC A A A cos A = 0 \cos A = 0 cos A = 0 a 2 = b 2 + c 2 a^2 = b^2 + c^2 a 2 = b 2 + c 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tính cạnh tam giác
Phương pháp:
Xác định cạnh cần tính và các yếu tố đã biết (hai cạnh và góc xen giữa).
Áp dụng định lý cosin để tính cạnh.
Ví dụ 1: Cho tam giác A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 A C = 8 AC = 8 A C = 8 ∠ A = 60 ∘ \angle A = 60^\circ ∠ A = 6 0 ∘ B C BC BC
Lời giải:
Áp dụng định lý cosin, ta có:
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ cos A BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ cos A
B C 2 = 5 2 + 8 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60 ∘ BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ B C 2 = 5 2 + 8 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 6 0 ∘
B C 2 = 25 + 64 − 80 ⋅ 1 2 BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} B C 2 = 25 + 64 − 80 ⋅ 2 1
B C 2 = 49 BC^2 = 49 B C 2 = 49
B C = 7 BC = 7 BC = 7
Vậy, độ dài cạnh B C BC BC
Ví dụ 2: Cho tam giác A B C ABC A BC A B = c = 7 AB = c = 7 A B = c = 7 B C = a = 5 BC = a = 5 BC = a = 5 ∠ B = 120 ∘ \angle B = 120^\circ ∠ B = 12 0 ∘ A C = b AC = b A C = b
Lời giải:
Áp dụng định lý cosin, ta có:
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B
b 2 = 5 2 + 7 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ cos 120 ∘ b^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ b 2 = 5 2 + 7 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ cos 12 0 ∘
b 2 = 25 + 49 − 70 ⋅ ( − 1 2 ) b^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) b 2 = 25 + 49 − 70 ⋅ ( − 2 1 )
b 2 = 74 + 35 = 109 b^2 = 74 + 35 = 109 b 2 = 74 + 35 = 109
b = 109 b = \sqrt{109} b = 109
Vậy, độ dài cạnh A C AC A C 109 \sqrt{109} 109
Dạng 2: Tính góc tam giác
Phương pháp:
Xác định góc cần tính và độ dài ba cạnh.
Áp dụng công thức tính cosin của góc.
Sử dụng hàm arccos \arccos arccos
Ví dụ 1: Cho tam giác A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 B C = 8 BC = 8 BC = 8 C A = 7 CA = 7 C A = 7 cos A \cos A cos A A A A
Lời giải:
Áp dụng công thức tính cosin góc, ta có:
cos A = A B 2 + A C 2 − B C 2 2 ⋅ A B ⋅ A C \cos A = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} cos A = 2 ⋅ A B ⋅ A C A B 2 + A C 2 − B C 2
cos A = 5 2 + 7 2 − 8 2 2 ⋅ 5 ⋅ 7 \cos A = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} cos A = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 5 2 + 7 2 − 8 2
cos A = 25 + 49 − 64 70 \cos A = \dfrac{25 + 49 - 64}{70} cos A = 70 25 + 49 − 64
cos A = 10 70 = 1 7 \cos A = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} cos A = 70 10 = 7 1
Suy ra A = arccos ( 1 7 ) ≈ 81.79 ∘ A = \arccos \left(\dfrac{1}{7}\right) \approx 81.79^\circ A = arccos ( 7 1 ) ≈ 81.7 9 ∘
Ví dụ 2: Tam giác A B C ABC A BC a = 4 a=4 a = 4 b = 3 b=3 b = 3 c = 2 c=2 c = 2 A A A
Lời giải:
Áp dụng định lý cosin, ta có:
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c = 3 2 + 2 2 − 4 2 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 9 + 4 − 16 12 = − 3 12 = − 1 4 \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{3^2 + 2^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \dfrac{9+4-16}{12} = \dfrac{-3}{12} = -\dfrac{1}{4} cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 3 2 + 2 2 − 4 2 = 12 9 + 4 − 16 = 12 − 3 = − 4 1
Vậy A = arccos ( − 1 4 ) ≈ 104.48 ∘ A = \arccos\left(-\dfrac{1}{4}\right) \approx 104.48^\circ A = arccos ( − 4 1 ) ≈ 104.4 8 ∘
Dạng 3: Xác định loại tam giác
Phương pháp:
Ví dụ 1: Cho tam giác A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 B C = 7 BC = 7 BC = 7 C A = 8 CA = 8 C A = 8
Lời giải:
Cạnh C A CA C A B B B
cos B = A B 2 + B C 2 − A C 2 2 ⋅ A B ⋅ B C \cos B = \dfrac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} cos B = 2 ⋅ A B ⋅ BC A B 2 + B C 2 − A C 2
cos B = 5 2 + 7 2 − 8 2 2 ⋅ 5 ⋅ 7 \cos B = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} cos B = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 5 2 + 7 2 − 8 2
cos B = 25 + 49 − 64 70 = 10 70 = 1 7 > 0 \cos B = \dfrac{25 + 49 - 64}{70} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} > 0 cos B = 70 25 + 49 − 64 = 70 10 = 7 1 > 0
Vì cos B > 0 \cos B > 0 cos B > 0 B B B
Ta xét tiếp cos A = 7 2 + 8 2 − 5 2 2 ⋅ 7 ⋅ 8 = 49 + 64 − 25 112 = 88 112 > 0 \cos A = \dfrac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot7\cdot8} = \dfrac{49+64-25}{112} = \dfrac{88}{112}>0 cos A = 2 ⋅ 7 ⋅ 8 7 2 + 8 2 − 5 2 = 112 49 + 64 − 25 = 112 88 > 0 A A A
Tương tự, cos C = 5 2 + 8 2 − 7 2 2 ⋅ 5 ⋅ 8 = 25 + 64 − 49 80 = 40 80 = 1 2 > 0 \cos C = \dfrac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8} = \dfrac{25+64-49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}>0 cos C = 2 ⋅ 5 ⋅ 8 5 2 + 8 2 − 7 2 = 80 25 + 64 − 49 = 80 40 = 2 1 > 0 C C C
Vậy tam giác A B C ABC A BC
Ví dụ 2: Cho tam giác A B C ABC A BC a = 8 a=8 a = 8 b = 5 b=5 b = 5 c = 4 c=4 c = 4
Lời giải:
Cạnh a a a A A A
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c = 5 2 + 4 2 − 8 2 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 25 + 16 − 64 40 = − 23 40 < 0 \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{5^2+4^2-8^2}{2\cdot5\cdot4} = \dfrac{25+16-64}{40} = \dfrac{-23}{40} < 0 cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 5 2 + 4 2 − 8 2 = 40 25 + 16 − 64 = 40 − 23 < 0
Vì cos A < 0 \cos A < 0 cos A < 0 A A A A B C ABC A BC
Dạng 4: Bài toán kết hợp
Ví dụ 1: Tam giác A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 A C = 8 AC = 8 A C = 8 ∠ A = 60 ∘ \angle A = 60^\circ ∠ A = 6 0 ∘
a) Tính độ dài cạnh B C BC BC
b) Tính góc B B B C C C
c) Tính diện tích tam giác A B C ABC A BC
Lời giải:
a) Đã giải ở ví dụ 1 dạng 1: B C = 7 BC = 7 BC = 7
b) Áp dụng định lý cosin:
cos B = A B 2 + B C 2 − A C 2 2 ⋅ A B ⋅ B C = 5 2 + 7 2 − 8 2 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 25 + 49 − 64 70 = 10 70 = 1 7 \cos B = \dfrac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{25 + 49 - 64}{70} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} cos B = 2 ⋅ A B ⋅ BC A B 2 + B C 2 − A C 2 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 5 2 + 7 2 − 8 2 = 70 25 + 49 − 64 = 70 10 = 7 1
B = arccos ( 1 7 ) ≈ 81.79 ∘ B = \arccos\left(\dfrac{1}{7}\right) \approx 81.79^\circ B = arccos ( 7 1 ) ≈ 81.7 9 ∘
C = 180 ∘ − A − B ≈ 180 ∘ − 60 ∘ − 81.79 ∘ ≈ 38.21 ∘ C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 60^\circ - 81.79^\circ \approx 38.21^\circ C = 18 0 ∘ − A − B ≈ 18 0 ∘ − 6 0 ∘ − 81.7 9 ∘ ≈ 38.2 1 ∘
c) Diện tích tam giác: S = 1 2 A B ⋅ A C sin A = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ sin 60 ∘ = 20 ⋅ 3 2 = 10 3 S = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} S = 2 1 A B ⋅ A C sin A = 2 1 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ sin 6 0 ∘ = 20 ⋅ 2 3 = 10 3
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Cho tam giác A B C ABC A BC A B = 4 AB=4 A B = 4 A C = 5 AC=5 A C = 5 ∠ A = 120 ∘ \angle A = 120^\circ ∠ A = 12 0 ∘ B C BC BC
Cho tam giác A B C ABC A BC a = 13 a=13 a = 13 b = 14 b=14 b = 14 c = 15 c=15 c = 15 A A A B B B C C C
Cho tam giác A B C ABC A BC a = 7 a=7 a = 7 b = 5 b=5 b = 5 c = 8 c=8 c = 8
Cho tam giác A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 B C = 6 BC = 6 BC = 6 A C = 7 AC = 7 A C = 7
Tam giác A B C ABC A BC A B = 3 AB = 3 A B = 3 A C = 4 AC = 4 A C = 4 ∠ A = 45 ∘ \angle A = 45^\circ ∠ A = 4 5 ∘ B C BC BC
Tam giác A B C ABC A BC a = 7 a = 7 a = 7 b = 5 b = 5 b = 5 C = 60 ∘ C = 60^\circ C = 6 0 ∘ c c c A A A B B B
Tam giác A B C ABC A BC a = 13 a = 13 a = 13 b = 14 b = 14 b = 14 c = 15 c = 15 c = 15 h a h_a h a m a m_a m a
IV. LỜI KẾT
Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 10 hiểu rõ và vận dụng thành thạo định lý cosin để giải các bài toán liên quan đến tam giác. Chúc các bạn học tốt!