Quay lại danh sách
MATHKhối 1023/05/2025

Ứng dụng định lý sin

TÀI LIỆU HỌC TẬP: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC

Mục tiêu:

  • Hiểu rõ định lý sin trong tam giác.
  • Vận dụng định lý sin để tính cạnh hoặc góc của tam giác khi biết các thông tin liên quan.
  • Giải các bài toán thực tế liên quan đến tam giác sử dụng định lý sin.

1. Định lý sin:

Trong tam giác ABC, với các cạnh đối diện các góc A, B, C lần lượt là a, b, c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

1.1. Phát biểu bằng lời:

Tỉ số giữa độ dài một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện bằng hai lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

2. Các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải:

Dạng 1: Tính cạnh tam giác

  • Bài toán: Cho biết hai góc và một cạnh, yêu cầu tính cạnh còn lại.

  • Phương pháp: Sử dụng định lý sin, chọn hai tỉ số có chứa cạnh đã biết và cạnh cần tìm, sau đó giải phương trình để tìm cạnh cần tìm.

    Ví dụ 1: Trong tam giác ABC, cho A=60∘A = 60^\circ, B=45∘B = 45^\circ và a=10a = 10 cm. Tính độ dài cạnh b.

    Lời giải:

    Áp dụng định lý sin, ta có:

    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

    ⇔10sin⁡60∘=bsin⁡45∘\Leftrightarrow \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}

    ⇔b=10⋅sin⁡45∘sin⁡60∘=10⋅2232=1023=1063 cm\Leftrightarrow b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \text{ cm}

Dạng 2: Tính góc tam giác

  • Bài toán: Cho biết hai cạnh và một góc đối diện với một trong hai cạnh đó, yêu cầu tính góc còn lại.

  • Phương pháp: Sử dụng định lý sin, chọn hai tỉ số có chứa góc đã biết và góc cần tìm, sau đó giải phương trình để tìm sin của góc cần tìm. Từ đó, tìm góc bằng cách sử dụng hàm arcsin (sin−1^{-1}) hoặc kiến thức về các giá trị lượng giác đặc biệt.

  • Lưu ý: Khi tìm góc từ giá trị sin, cần xét cả hai trường hợp góc nhọn và góc tù.

    Ví dụ 2: Trong tam giác ABC, cho a=8a = 8 cm, b=5b = 5 cm và A=60∘A = 60^\circ. Tính góc B.

    Lời giải:

    Áp dụng định lý sin, ta có:

    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

    ⇔8sin⁡60∘=5sin⁡B\Leftrightarrow \frac{8}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin B}

    ⇔sin⁡B=5⋅sin⁡60∘8=5⋅328=5316\Leftrightarrow \sin B = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{8} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{5\sqrt{3}}{16}

    ⇒B=arcsin⁡(5316)≈32.7∘\Rightarrow B = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{16}\right) \approx 32.7^\circ

    Vì a>ba > b nên A>BA > B, do đó B là góc nhọn.

Dạng 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

  • Bài toán: Cho biết một cạnh và góc đối diện, yêu cầu tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

  • Phương pháp: Sử dụng định lý sin, chọn tỉ số có chứa cạnh và góc đã biết, sau đó giải phương trình để tìm R.

    Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, cho a=12a = 12 cm và A=30∘A = 30^\circ. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.

    Lời giải:

    Áp dụng định lý sin, ta có:

    asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R

    ⇔12sin⁡30∘=2R\Leftrightarrow \frac{12}{\sin 30^\circ} = 2R

    ⇔2R=1212=24\Leftrightarrow 2R = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24

    ⇔R=12 cm\Leftrightarrow R = 12 \text{ cm}

Dạng 4: Các bài toán thực tế

  • Bài toán: Các bài toán liên quan đến đo đạc khoảng cách, chiều cao, góc nhìn trong thực tế.

  • Phương pháp:

    1. Vẽ hình minh họa, xác định các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm.
    2. Áp dụng định lý sin và các kiến thức hình học khác để giải bài toán.

    Ví dụ 4: Một người đứng ở một điểm A trên bờ sông, muốn đo khoảng cách từ điểm A đến một cái cây C trên bờ đối diện. Người đó chọn một điểm B trên bờ sông, sao cho A, B, C thẳng hàng. Sau đó, người đó đi dọc bờ sông từ B đến D một khoảng 20 m và đo được ∠BDC=60∘\angle BDC = 60^\circ và ∠ABD=45∘\angle ABD = 45^\circ. Tính khoảng cách AC.

    Lời giải:

    1. Vẽ hình:

      [Hình vẽ minh họa bài toán]

    2. Tính góc BCDBCD:

      ∠BCD=180∘−∠BDC=180∘−60∘=120∘\angle BCD = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

    3. Tính góc BDCBDC:

      ∠BDA=180∘−∠ABD=180∘−45∘=135∘\angle BDA = 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ

    4. Tính góc DCADCA:

      ∠DCA=∠BDA−∠BCD=135∘−120∘=15∘\angle DCA = \angle BDA - \angle BCD = 135^\circ - 120^\circ = 15^\circ

    5. Áp dụng định lý sin trong tam giác BCD:

      BDsin⁡∠BCD=BCsin⁡∠BDC\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{BC}{\sin \angle BDC}

      ⇔20sin⁡60∘=BCsin⁡60∘\Leftrightarrow \frac{20}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ}

      ⇒BC=20⋅sin⁡60∘sin⁡120∘=20 m\Rightarrow BC = \frac{20 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 120^\circ} = 20 \text{ m}

    6. Áp dụng định lý sin trong tam giác ACD:

      ACsin⁡∠BDC=BCsin⁡∠DCA\frac{AC}{\sin \angle BDC} = \frac{BC}{\sin \angle DCA}

      ⇔ACsin⁡60∘=20sin⁡15∘\Leftrightarrow \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\sin 15^\circ}

      ⇒AC=20⋅sin⁡60∘sin⁡15∘≈62.6 m\Rightarrow AC = \frac{20 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 15^\circ} \approx 62.6 \text{ m}

    Vậy, khoảng cách từ A đến C là khoảng 62.6 m.

3. Bài tập vận dụng:

  1. Trong tam giác ABC, cho a=10a = 10 cm, b=12b = 12 cm và C=60∘C = 60^\circ. Tính cạnh c.
  2. Trong tam giác ABC, cho a=7a = 7 cm, b=8b = 8 cm và c=9c = 9 cm. Tính các góc A, B, C.
  3. Trong tam giác ABC, cho A=45∘A = 45^\circ, B=75∘B = 75^\circ và c=15c = 15 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
  4. Một chiếc thuyền đi từ A đến B cách nhau 100 km theo hướng Đông - Bắc 30∘30^\circ. Sau đó, thuyền đi từ B đến C theo hướng Bắc 60∘60^\circ. Biết khoảng cách từ A đến C là 150 km. Tính khoảng cách từ B đến C.
  5. Một người đứng cách chân tháp 50 m. Góc nhìn từ người đó đến đỉnh tháp là 30∘30^\circ. Tính chiều cao của tháp.

4. Kết luận:

Định lý sin là một công cụ hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác. Việc nắm vững định lý và các dạng bài toán thường gặp sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách dễ dàng và hiệu quả.

Chúc các em học tốt!

Cần thêm bí kíp?

Khám phá hàng trăm thủ thuật học tập hiệu quả khác.

Xem tất cả thủ thuật