TÀI LIỆU HỌC TẬP: TÍNH CHẤT TỈ LỆ TRONG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I. Tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng

1. Định nghĩa tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có ba góc tương ứng bằng nhau và ba cạnh tương ứng tỉ lệ.

Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$. Ta có:

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ khi và chỉ khi:

• $\widehat{A} = \widehat{A'}$, $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$
• $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}$

2. Tính chất tỉ lệ cạnh

Nếu $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ thì:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$

Trong đó $k$ là tỉ số đồng dạng.

Ví dụ: Cho $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với $\frac{AB}{DE} = \frac{2}{3}$. Nếu $BC = 6$ cm, tính độ dài cạnh $EF$.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ nên:

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{2}{3}$

Ta có $\frac{BC}{EF} = \frac{2}{3}$, suy ra $EF = \frac{3BC}{2} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ cm.

II. Tỉ lệ đường cao trong tam giác đồng dạng

1. Định lý

Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Phát biểu: Cho $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng $k$. Gọi $AH$, $A'H'$ lần lượt là các đường cao của $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$. Khi đó:

$\frac{AH}{A'H'} = k$

Hay:

$\frac{AH}{A'H'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}$

2. Chứng minh

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có $AH$ là đường cao ứng với cạnh $BC$ và $A'H'$ là đường cao ứng với cạnh $B'C'$.

Vì $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ nên $\widehat{B} = \widehat{B'}$.

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle A'B'H'$ có:

• $\widehat{AHB} = \widehat{A'H'B'} = 90^\circ$
• $\widehat{B} = \widehat{B'}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\triangle ABH \sim \triangle A'B'H'$ (g.g).

Do đó:

$\frac{AH}{A'H'} = \frac{AB}{A'B'} = k$

Ví dụ: Cho $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng $k = \frac{1}{2}$. Đường cao $AH$ của $\triangle ABC$ bằng 4 cm. Tính độ dài đường cao $A'H'$ của $\triangle A'B'C'$.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ nên:

$\frac{AH}{A'H'} = k = \frac{1}{2}$

Suy ra $A'H' = 2AH = 2 \cdot 4 = 8$ cm.

III. Tỉ lệ đường trung tuyến trong tam giác đồng dạng

1. Định lý

Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Phát biểu: Cho $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng $k$. Gọi $AM$, $A'M'$ lần lượt là các đường trung tuyến của $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$. Khi đó:

$\frac{AM}{A'M'} = k$

Hay:

$\frac{AM}{A'M'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}$

2. Chứng minh

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ và $A'M'$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $B'C'$.

Vì $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ nên:

• $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$
• $\widehat{B} = \widehat{B'}$

Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \frac{BC}{2}$. $M'$ là trung điểm của $B'C'$ nên $B'M' = \frac{B'C'}{2}$.

Suy ra:

$\frac{BM}{B'M'} = \frac{\frac{BC}{2}}{\frac{B'C'}{2}} = \frac{BC}{B'C'} = k$

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle A'B'M'$ có:

• $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BM}{B'M'} = k$
• $\widehat{B} = \widehat{B'}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\triangle ABM \sim \triangle A'B'M'$ (c.g.c).

Do đó:

$\frac{AM}{A'M'} = \frac{AB}{A'B'} = k$

Ví dụ: Cho $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số đồng dạng $k = 3$. Đường trung tuyến $AM$ của $\triangle ABC$ bằng 6 cm. Tính độ dài đường trung tuyến $DN$ của $\triangle DEF$.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ nên:

$\frac{AM}{DN} = k = 3$

Suy ra $DN = \frac{AM}{3} = \frac{6}{3} = 2$ cm.

IV. Tổng kết

Trong hai tam giác đồng dạng, tỉ số các cạnh tương ứng, đường cao tương ứng, đường trung tuyến tương ứng đều bằng tỉ số đồng dạng.