Định lý đảo của tam giác đồng dạng

TÀI LIỆU HỌC TẬP: ĐỊNH LÝ ĐẢO CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG - CHỨNG MINH ĐỒNG DẠNG TỪ TỈ LỆ CẠNH

1. Nhắc lại kiến thức cơ bản về tam giác đồng dạng

1.1. Định nghĩa:

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có ba góc tương ứng bằng nhau và ba cạnh tương ứng tỉ lệ.

Kí hiệu: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Tính chất: Nếu $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ thì:

$\widehat{A} = \widehat{A'}$ , $\widehat{B} = \widehat{B'}$ , $\widehat{C} = \widehat{C'}$
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$ (k là tỉ số đồng dạng)

1.2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác (Đã học):

Trường hợp 1 (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Nếu $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}$ thì $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ .
Trường hợp 2 (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Nếu $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ và $\widehat{A} = \widehat{A'}$ thì $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ .
Trường hợp 3 (g.g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Nếu $\widehat{A} = \widehat{A'}$ và $\widehat{B} = \widehat{B'}$ thì $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ .

2. Định lý đảo của tam giác đồng dạng (Trường hợp cạnh - góc - cạnh)

2.1. Phát biểu định lý:

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng (Trường hợp cạnh - góc - cạnh).

2.2. Chứng minh định lý:

Giả thiết: Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$
$\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}$

Kết luận: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Chứng minh:

Trên tia $AB$ , đặt đoạn thẳng $AD = A'B'$ .
Qua $D$ , kẻ đường thẳng song song với $BC$ , cắt $AC$ tại $E$ .
Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$ , ta có:
- $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị)
- $\widehat{A}$ chung
Suy ra $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$
Từ giả thiết, ta có: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$

Mà $AD = A'B'$ , suy ra $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{A'C'}$

Từ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ , suy ra $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$

Do đó, $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AC}{AE} \Rightarrow AE = A'C'$
Xét $\triangle ADE$ và $\triangle A'B'C'$ , ta có:
- $AD = A'B'$ (cách dựng)
- $\widehat{DAE} = \widehat{B'A'C'}$ (gt)
- $AE = A'C'$ (cmt)
Suy ra $\triangle ADE = \triangle A'B'C'$ (c.g.c)
Vì $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (cmt) và $\triangle ADE = \triangle A'B'C'$ (cmt), nên $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (tính chất bắc cầu).

Vậy định lý được chứng minh.

3. Ứng dụng định lý đảo để chứng minh tam giác đồng dạng

Ví dụ 1: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 4cm$ , $AC = 6cm$ , $BC = 5cm$ . Trên cạnh $AB$ , lấy điểm $D$ sao cho $AD = 2cm$ . Trên cạnh $AC$ , lấy điểm $E$ sao cho $AE = 3cm$ . Chứng minh $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ .

Giải:

Ta có:

$\frac{AD}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{AE}{AC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Suy ra $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$
$\widehat{BAC}$ chung

Áp dụng định lý đảo (c.g.c), ta có $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (đpcm).

Ví dụ 2: Cho hình thang $ABCD$ ( $AB // CD$ ) có $AB = 4cm$ , $CD = 9cm$ , $BD = 6cm$ và $BC = \frac{8}{3}cm$ . Chứng minh $\triangle ABD \sim \triangle BDC$ .

Giải:

Ta có:

$\frac{AB}{BD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{BD}{CD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$\frac{AD}{BC} = \frac{2}{3}$ (đề bài có thể cho tỷ lệ này hoặc cần chứng minh gián tiếp qua các tỷ lệ khác)
Suy ra $\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{CD}$
$\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$ (hai góc so le trong do $AB // CD$ )

Áp dụng định lý đảo (c.g.c), ta có $\triangle ABD \sim \triangle BDC$ (đpcm).

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 6cm$ , $AC = 9cm$ , $BC = 12cm$ . Trên cạnh $AB$ , lấy điểm $M$ sao cho $AM = 4cm$ . Trên cạnh $AC$ , lấy điểm $N$ sao cho $AN = 6cm$ .

a) Chứng minh $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ .

b) Tính độ dài đoạn thẳng $MN$ .

Bài 2: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 8cm$ , $AC = 6cm$ . Trên cạnh $AB$ , lấy điểm $D$ sao cho $AD = 3cm$ . Trên cạnh $AC$ , lấy điểm $E$ sao cho $AE = 4cm$ .

a) Chứng minh $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ .

b) Tính độ dài đoạn thẳng $DE$ .

Bài 3: Cho hình thang $ABCD$ ( $AB // CD$ ) có $AB = 5cm$ , $CD = 8cm$ , $AC = 6cm$ và $BC = 10cm$ . Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle CAD$ .

Bài 4: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$ . Chứng minh $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ .

Bài 5: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 5cm$ , $AC = 8cm$ , $BC = 7cm$ . Trên cạnh $AB$ , lấy điểm $D$ sao cho $AD = 3cm$ . Trên cạnh $AC$ , lấy điểm $E$ sao cho $AE = 4.8cm$ .

a) Chứng minh $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ .