TÀI LIỆU HỌC TẬP: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP VÀ TIẾP TUYẾN

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Đường tròn nội tiếp:

• Định nghĩa: Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.
• Tâm của đường tròn nội tiếp: Giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
• Bán kính đường tròn nội tiếp (ký hiệu là $r$): Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến mỗi cạnh của tam giác.

2. Tiếp tuyến của đường tròn:

• Định nghĩa: Một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung duy nhất với đường tròn đó. Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm.
• Tính chất cơ bản của tiếp tuyến:
  • Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
  • Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, thì:
    • Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau.
    • Tia nối điểm đó với tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

II. CÁC TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

1. Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong:

• Chứng minh: Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC, CA, AB$. Khi đó $ID \perp BC$, $IE \perp CA$, $IF \perp AB$ và $ID = IE = IF = r$.

  • Xét hai tam giác vuông $IEA$ và $IFA$, ta có:

    • $IE = IF$ (bán kính đường tròn nội tiếp)
    • $IA$ là cạnh chung
    • Suy ra $\triangle IEA = \triangle IFA$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
    • Do đó $\angle IAE = \angle IAF$, vậy $AI$ là phân giác $\angle BAC$.

  • Chứng minh tương tự, ta có $BI$ là phân giác $\angle ABC$ và $CI$ là phân giác $\angle ACB$.

  • Vậy $I$ là giao điểm của ba đường phân giác trong của $\triangle ABC$.

2. Các đoạn tiếp tuyến từ một đỉnh đến đường tròn nội tiếp bằng nhau:

• Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
  • $AF = AE$
  • $BF = BD$
  • $CD = CE$

3. Công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp ($r$), diện tích tam giác ($S$) và nửa chu vi tam giác ($p$):

• $S = pr$, trong đó $p = \frac{a+b+c}{2}$ (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác)

  • Chứng minh: Giả sử tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$ bán kính $r$, tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$.

    • $S_{ABC} = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB}$
    • $S_{IBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot ID = \frac{1}{2}ar$
    • $S_{ICA} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot IE = \frac{1}{2}br$
    • $S_{IAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot IF = \frac{1}{2}cr$
    • Do đó $S_{ABC} = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a+b+c) = r\frac{a+b+c}{2} = pr$

4. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp theo diện tích và các cạnh của tam giác:

• $r = \frac{S}{p}$

  • Công thức này suy ra trực tiếp từ công thức $S = pr$.

5. Các hệ thức liên quan đến độ dài các đoạn tiếp tuyến:

• Đặt $x = AF = AE$, $y = BF = BD$, $z = CD = CE$. Khi đó:
  • $a = y+z$
  • $b = x+z$
  • $c = x+y$
• Từ đó, ta có thể giải các bài toán tính độ dài các đoạn tiếp tuyến khi biết độ dài các cạnh của tam giác.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1. Bài toán chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp:

• Phương pháp: Chứng minh điểm đó là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

2. Bài toán tính bán kính đường tròn nội tiếp:

• Phương pháp:
  • Sử dụng công thức $r = \frac{S}{p}$ khi biết diện tích và nửa chu vi tam giác.
  • Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác (nếu tam giác vuông hoặc tam giác đều).
  • Sử dụng các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để thiết lập phương trình.

3. Bài toán liên quan đến tính độ dài các đoạn tiếp tuyến:

• Phương pháp:
  • Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
  • Thiết lập hệ phương trình dựa trên các hệ thức liên quan đến độ dài các cạnh và các đoạn tiếp tuyến.

4. Bài toán chứng minh các tính chất hình học liên quan đến đường tròn nội tiếp:

• Phương pháp:
  • Sử dụng tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
  • Sử dụng các tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
  • Sử dụng các định lý về tam giác đồng dạng, tam giác cân,...

IV. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm.

a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Giải:

a) Ta có $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = BC^2$.

Theo định lý Pytago đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ cm$^2$.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12$ cm.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$ cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $AI$ là tia phân giác của $\angle BAC$.

Giải:

Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC, CA, AB$.

Xét hai tam giác vuông $IEA$ và $IFA$, ta có:

• $IE = IF = r$ (bán kính đường tròn nội tiếp)
• $IA$ là cạnh chung
• Suy ra $\triangle IEA = \triangle IFA$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
• Do đó $\angle IAE = \angle IAF$, vậy $AI$ là phân giác $\angle BAC$.

V. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm, $CA = 8$ cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
3. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
4. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến đường tròn $(O)$ ( $B$, $C$ là các tiếp điểm). Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $AI$ là tia phân giác của $\angle BAC$.
5. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BE, CF$ đồng quy tại một điểm.

---