TÀI LIỆU HỌC TẬP: GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG - GÓC VÀ CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

a. Định nghĩa:

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp tuyến của đường tròn tại đỉnh đó, cạnh còn lại chứa dây cung.

b. Tính chất:

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

c. Biểu diễn bằng ký hiệu:

Cho đường tròn $(O)$, $At$ là tiếp tuyến tại $A$, $AB$ là dây cung. Khi đó, $\angle tAB$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel\frown{AB}$.

$\angle tAB = \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{AB}$

d. Các trường hợp:

• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc nhọn khi cung bị chắn nhỏ hơn nửa đường tròn.
• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc vuông khi cung bị chắn là nửa đường tròn.
• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc tù khi cung bị chắn lớn hơn nửa đường tròn.

e. Chứng minh tính chất:

Xét đường tròn $(O)$, tiếp tuyến $At$, dây cung $AB$.

• Trường hợp 1: Tâm $O$ nằm trên dây $AB$.

  Khi đó, $\stackrel\frown{AB}$ là nửa đường tròn. $\angle tAB$ là góc vuông.

  Vậy, $\angle tAB = 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{AB}$.

• Trường hợp 2: Tâm $O$ nằm trong góc $\angle tAB$.

  Vẽ đường kính $AC$.

  Ta có: $\angle tAB = \angle tAC + \angle CAB = 90^\circ + \angle CAB$.

  Mặt khác, $\angle CAB = \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{BC}$ (góc nội tiếp).

  $\Rightarrow \angle tAB = 90^\circ + \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{BC} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ + \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{BC} = \frac{1}{2} (\text{sđ} \stackrel\frown{BC} + \text{sđ} \stackrel\frown{CA}) = \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{ACB}$.

• Trường hợp 3: Tâm $O$ nằm ngoài góc $\angle tAB$. (Chứng minh tương tự)

2. Liên hệ giữa góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn một cung

a. Định lý:

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b. Biểu diễn bằng ký hiệu:

Cho đường tròn $(O)$, $At$ là tiếp tuyến tại $A$, $BC$ là dây cung. $\angle B$ và $\angle tAC$ cùng chắn cung $\stackrel\frown{AC}$.

$\angle ABC = \angle tAC = \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{AC}$

II. BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$, tiếp tuyến $Ax$, dây $AB$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung lớn $AB$. Chứng minh:

a) $\angle xAB = \angle AMB$

b) $MA = MB$

Giải:

a) Ta có:

• $\angle xAB$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel\frown{AB}$.
• $\angle AMB$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel\frown{AB}$.

Theo định lý, $\angle xAB = \angle AMB$ (cùng bằng nửa số đo cung $\stackrel\frown{AB}$).

b) $M$ là điểm chính giữa cung lớn $AB$ nên $\text{sđ} \stackrel\frown{MA} = \text{sđ} \stackrel\frown{MB}$.

Suy ra: $\angle MBA = \angle MAB$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Vậy, $\triangle MAB$ cân tại $M$ nên $MA = MB$.

Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$, dây $AC$. Gọi $At$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $A$. Chứng minh:

a) $\angle BAC + \angle tAB = 90^\circ$

b) $\angle CAB = \angle ABC$ (khi $C$ nằm trên đường tròn)

Giải:

a) Ta có:

• $\angle tAB = 90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến)
• $\angle BAC + \angle tAC = 90^\circ$ (tia $AC$ nằm giữa hai tia $AB$ và $At$) Vậy, $\angle BAC + \angle tAB = 90^\circ$.

b) Ta có: $\angle ACB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ$.

Mặt khác, $\angle CBA = \angle tAB = \frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel\frown{AC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\stackrel\frown{AC}$).

Vậy, $\angle CAB = \angle ABC$.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho đường tròn $(O)$, tiếp tuyến $Ax$, dây $AB$. Trên cung lớn $AB$ lấy điểm $C$. Biết $\angle BAC = 70^\circ$. Tính $\angle xAB$.

2. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$, dây $AC$. Gọi $At$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $A$. Gọi $D$ là điểm trên cung nhỏ $BC$. Chứng minh: $\angle tAC = \angle BDC$.

3. Cho đường tròn $(O)$, dây $BC$. Gọi $A$ là điểm trên cung lớn $BC$ (khác $B$ và $C$). Chứng minh: $\angle BAC = \frac{1}{2} \text{sđ} \stackrel\frown{BC}$.

4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$. Chứng minh: $\angle DAB = \angle ACB$ và $\angle DAC = \angle ABC$.

5. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB, AC$ đến đường tròn $(O)$ ($B, C$ là tiếp điểm). Gọi $M$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$. Tiếp tuyến tại $M$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh:

   a) $\angle BDM = \angle ECM$

   b) Chu vi tam giác $ADE$ không đổi khi $M$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (GỢI Ý)

1. $\angle xAB = 70^\circ$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung).

2. $\angle tAC = \angle ABC$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel\frown{AC}$). $\angle ABC = \angle BDC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel\frown{AC}$). Suy ra điều cần chứng minh.

3. Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn cung và tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

4. Sử dụng tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất góc ngoài của tam giác.

5. a) $\angle BDM = \angle BMD$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp). $\angle CME = \angle ECM$ (tương tự). Từ đó suy ra.

   b) Chu vi $\triangle ADE = AD + DE + EA = AD + DM + ME + EA = AD + DB + EC + EA = AB + AC$ (vì $DM = DB$, $ME = EC$). $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến nên có độ dài không đổi. Do đó, chu vi $\triangle ADE$ không đổi.

---

Tài liệu này hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cũng như cách vận dụng chúng trong các bài toán hình học. Chúc các em học tốt!